Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase 4. Vnitřní (stavový) popis

Kapitola počáteční |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Začínáme – několik ilustračních příkladů na úvod | 2 Nejdůležitější pojmy |

2.1 Signál, veličina, funkce, časová řada | 2.2 Systém |

Modely veličin spojitých v čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Základní typy matematických modelů veličin spojitých v čase |

1.1 Periodické funkce |

1.1.1 Harmonická funkce |

1. 2 Neperiodické funkce |

1.2.1 Deterministické jednorázové funkce | 1.2.2 Náhodné funkce |

2 Základní unární operace s funkcemi se spojitým časem |

Modely veličin spojitých v čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Konvoluce | 2 Kauzalita | 3 Korelace |

3.1 Korelační koeficient | 3.2 Korelační funkce |

Modely veličin spojitých v čase III |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Rozklad spojitých periodických funkcí na dílčí harmonické složky |

1.1 Proč? | 1.2 Fourierova řada |

2 Rozklad spojitých neperiodických funkcí na dílčí harmonické složky – Fourierova transformace |

2.1 Definice | 2.2 Vlastnosti Fourierovy transformace | 2.3 Několik řešených příkladů | 2.4 A na konec ještě pár příkladů k procvičení |

Časové řady I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vzorkování |

1.1 Seznamme se | 1.2 Vzorkovací teorém |

2 Základní typy matematických modelů veličin diskrétních v čase |

2.1 Konvence na začátek | 2.2 Periodické posloupnosti | 2.3 Jednorázové posloupnosti |

3 Základní operace s matematickými modely veličin diskrétních v čase |

3.1 Úvodní poznámky | 3.2 Diskrétní konvoluce | 3.3 Diskrétní korelační posloupnost |

Časové řady II |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase I |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Linearita | 2 Vnější (vstupní/výstupní) popis lineárních systémů |

2.1 Lineární diferenciální rovnice |

3 Laplacova transformace |

3.1 Zavedení Laplacovy transformace | 3.2 Důležité vlastnosti Laplacovy transformace |

4 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

4.1 Obrazová přenosová funkce | 4.2 Rozložení nulových bodů a pólů operátorové přenosové funkce | 4.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 4.4 Impulzní charakteristika | 4.5 Přechodová charakteristika | 4.6 Vzájemné vztahy mezi různými formami vnějšího popisu lineárního systému |

Matematický popis systémů pracujících ve spojitém čase II |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější popis nelineárních systémů | 2 Vnitřní (stavový) popis |

2.1 Lineární případ | 2.2 Nelineární případ |

3 Chování systémů |

3.1 Základní jevy v systémech |

4 Stabilita |

4.1 Základní pojmy | 4.2 Zkoumání stability | 4.3 Zobecněná stabilita dle Ljapunova |

5 Kauzalita |

Matematický popis lineárních systémů pracujících v diskrétním čase |

Výstupy z výukové jednotky | 1 Vnější (vstupní/výstupní) popis |

1.1 Diferenční rovnice |

2 Transformace Z |

2.1 Zavedení transformace Z | 2.2 Důležité vlastnosti transformace Z |

3 Vnější (vstupní/výstupní) popis - pokračování |

3.1 Obrazová přenosová funkce | 3.2 Rozložení nulových bodů a pólů obrazové přenosové funkce | 3.3 Frekvenční přenosová funkce a frekvenční charakteristiky | 3.4 Časové charakteristiky |

4. Vnitřní (stavový) popis | 5 Stabilita |

Systémové struktury |

4.3 Princip zpětnovazební regulace | 4.1 Popis přenosu zpětnovazebního systému | 4.2 Vlastnosti zpětnovazebního zapojení |

Komplexní čísla |

Výstupy z výukové jednotky | Základní typy popisu komplexních čísel | Matematické operace s komplexními čísly | Komplexní exponenciála |

Spojité deterministické modely I | Diskrétní deterministické modely | Úvod do matematického modelování | Vybrané kapitoly z matematického modelování |

4. Vnitřní (stavový) popis

Odlišnosti diskrétních systémů (oproti spojitým) odpovídá i tvar stavového popisu vlastností systému. Dynamika není vyjádřena derivací stavových proměnných, ale jejich hodnotami v následujícím časovém kroku. To znamená, že dynamické vlastnosti systému -tého řádu popíšeme v první stavové rovnici diferenčními rovnicemi 1. řádu definujícími hodnoty stavových proměnných v čase pomocí hodnot stavových

(40)

kde je vektor hodnot stavových veličin v čase je vektor hodnot stavových veličin v čase k a vektor představuje hodnoty vstupních posloupností v čase Matice je matice dynamiky systému a její (v případě lineárních, časově invariantních systémů konstantní) prvky vyjadřují vztah mezi hodnotami stavových veličin v čase a Matice je tzv. vstupní matice systému a popisuje vzájemný vztah mezi hodnotami stavových veličin v čase a hodnotami vstupních veličin v čase

Podobně jako u spojitých systémů informaci o ději uvnitř systému získáváme prostřednictvím hodnot výstupních veličin, které určujeme pomocí druhé stavové rovnice, kterou píšeme ve tvaru

(41)

kde kromě již výše popsaných symbolů je vektor hodnot výstupní posloupnosti v čase matice je popisující vliv stavu systému na výstup a matice je matice přímých vstupně-výstupních vazeb.

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity