Matematické operace s komplexními čísly
Rovnost dvou komplexních čísel
Dvě komplexní čísla a v kartézském tvaru jsou si rovna, pokud platí
(7) |
Dvě komplexní čísla a v exponenciálním tvaru jsou si rovna, pokud platí
(8) |
Ekvivalentně platí vztah Komplexní čísla (8) i pro goniometrický tvar komplexních čísel.
Sečítání a rozdíl dvou komplexních čísel
Pro sečítání komplexních čísel a platí
(9) |
Pro rozdíl dvou komplexních čísel pak ekvivalentně je
(10) |
Příklad 2.1. Sečtěte komplexní čísla a
Řešení.
Součin a podíl dvou komplexních čísel
Součin dvou komplexních čísel a v kartézském tvaru se určí podle vztahu
(11) |
Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny a využijeme vztah
Součin dvou komplexních čísel a v exponenciálním tvaru určíme podle vztahu
Pro sečítání a násobení dvou, případně více komplexních čísel platí následující pravidla:
asociativní zákon: |
|
komutativní zákon: | |
distributivní zákon | |
pro každé platí | |
ke každému x existuje takové číslo že | |
ke každému existuje takové číslo že Pak píšeme, že nebo |
Podíl dvou komplexních čísel a v kartézském tvaru je dán vztahem
(12) |
Podíl dvou komplexních čísel a v exponenciálním tvaru je dán vztahem
(13) |
Pro operace s komplexně sdruženými čísly platí
(14) |
Příklad 2.2. Mějme komplexní čísla a Určete jejich součet, rozdíl, součin a podíl.
Řešení.
Příklad 2.3. Vynásobte komplexní čísla a
Řešení.
Uspořádání komplexních čísel
Na rozdíl od reálných čísel nelze komplexní čísla uspořádat, tj. nelze je seřadit podle velikosti tak, aby se toto seřazení rozumně chovalo z hlediska základních matematických operací.
Umocňování a odmocňování komplexních čísel
Věta 2.4. (Moivrova). Pro každé reálné a celočíselné je
(15) |
Z Moivrovy věty pak pro celočíselné umocňování komplexních čísel v geometrickém, resp. exponenciálním tvaru různých od nuly je
(16a) |
resp.
(16b) |
Pro přirozené číslo k je -tá odmocnina z komplexního čísla takové číslo pro které platí
(17) |
Je-li od nuly různé, existuje právě k různých hodnot odmocniny pro které je
(18) |
pro
Pro je
Příklad 2.5. Určete pokud je
Řešení. Podle Moivrovy věty je
Příklad 2.6. Určete
Řešení. S aplikací Moivrovy věty a z ní vyplývajícího vztahu Komplexní čísla (18) je
To znamená, že je
Příklad 2.7. Určete
Řešení. (Obr. Komplexní čísla 2).
Příklad 2.8. Určete
Řešení. (Obr. Komplexní čísla 3).
Obr. 2. Řešení příkladu Komplexní čísla 2.7.
|
Obr. 3. Řešení příkladu Komplexní čísla 2.8.
|