Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSignály a lineární systémy Komplexní čísla Matematické operace s komplexními čísly

Logo Matematická biologie

Matematické operace s komplexními čísly

Rovnost dvou komplexních čísel

Dvě komplexní čísla  a v kartézském tvaru jsou si rovna, pokud platí

(7)

Dvě komplexní čísla  v exponenciálním tvaru jsou si rovna, pokud platí

(8)

Ekvivalentně platí vztah Komplexní čísla (8) i pro goniometrický tvar komplexních čísel.

Sečítání a rozdíl dvou komplexních čísel

Pro sečítání komplexních čísel  a platí

(9)

Pro rozdíl dvou komplexních čísel pak ekvivalentně je

(10)

Příklad 2.1. Sečtěte komplexní čísla a

Řešení.

 

Součin a podíl dvou komplexních čísel

Součin dvou komplexních čísel  a v kartézském tvaru se určí podle vztahu

(11)

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny a využijeme vztah

Součin dvou komplexních čísel  a  v exponenciálním tvaru určíme podle vztahu

Pro sečítání a násobení dvou, případně více komplexních čísel platí následující pravidla:

asociativní zákon:

komutativní zákon:

distributivní zákon
pro každé platí

ke každému x existuje takové číslo že
ke každému existuje takové číslo že Pak píšeme, že nebo

Podíl dvou komplexních čísel  a  v kartézském tvaru je dán vztahem

(12)

Podíl dvou komplexních čísel v exponenciálním tvaru je dán vztahem

(13)

Pro operace s komplexně sdruženými čísly platí

(14)

Příklad 2.2. Mějme komplexní čísla a Určete jejich součet, rozdíl, součin a podíl.

Řešení.

Příklad 2.3. Vynásobte komplexní čísla  a

Řešení.

Uspořádání komplexních čísel

Na rozdíl od reálných čísel nelze komplexní čísla uspořádat, tj. nelze je seřadit podle velikosti tak, aby se toto seřazení rozumně chovalo z hlediska základních matematických operací.

Umocňování a odmocňování komplexních čísel

Věta 2.4. (Moivrova). Pro každé reálné a celočíselné  je

(15)

 

Z Moivrovy věty pak pro celočíselné umocňování komplexních čísel v geometrickém, resp. exponenciálním tvaru různých od nuly je

(16a)

resp.

(16b)

Pro přirozené číslo k je -tá odmocnina  z komplexního čísla takové číslo pro které platí

(17)

Je-li od nuly různé, existuje právě k různých hodnot odmocniny pro které je

(18)

pro

Pro je

Příklad 2.5. Určete pokud je

Řešení.  Podle Moivrovy věty je

Příklad 2.6. Určete

Řešení. S aplikací Moivrovy věty a z ní vyplývajícího vztahu Komplexní čísla (18) je

To znamená, že je

Příklad 2.7. Určete

Řešení. (Obr. Komplexní čísla 2).

Příklad 2.8. Určete

Řešení. (Obr. Komplexní čísla 3).

Obr. 2. Řešení příkladu Komplexní čísla 2.7.
Obr. 3. Řešení příkladu Komplexní čísla 2.8.
 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict