Příklady matematických modelů

• Růstové modely populační dynamiky^[1] popisují časovou změnu velikosti určité populace (populace zde neznamená pouze společenstvo živých organismů, ale také třeba soubor určitých částic nebo látek). Např. model růstu populace živých organismů, model růstu rostlin, model rovnováhy počtu druhů v nice (např. na ostrově), model radioaktivního rozpadu apod.
• Modely koexistence dvou biologických druhů se zabývají modelováním vztahu mezi dvěma populacemi. Typickým příkladem je model systému dravec - kořist^[2].
• Epidemiologické modely^[3] (modely šíření infekcí), které popisují modely, která vychází z tzv. teorie epidemií.
• Modely biochemických reakcí[4], enzymová kinetika^[5] apod.
• Dalším typem modelů jsou modely buňky, její regulace, mezibuněčné komunikace.
• Z oblasti fyziologie jmenujme modely proudění krve, činnosti srdce, plic, ledvin apod.

Příklad 1.8: Malthusovský model růstu populace pro spojitý a disktrétní systém

Uvažujme biologický systém sestávající se z populace jedinců, kteří se rodí, rostou a umírají, přičemž známe jejich počáteční počet v čase, od kterého budeme modelovat jejich počet. Malthusovský model růstu populace má proměnné modelu: počet jedinců v populaci v čase a čas . V tomto modelu přepokládáme, že proměnná počet jedinců v populaci závisí na parametru , který představuje specifickou míru růstu populace a uvažujeme jej konstantní. Dále předpokládáme, že počet jedinců v populaci v čase je konstantní , kde a jsou známé konstanty. Na tento systém se můžeme uvažovat jako spojitý i diskrétní systém.

Řešení modelu spojitého systému:
Malthusovský model růstu populace pro spojitý systém má matematický model

^[6].

Jedná se tedy o spojitý dynamický deterministický model a můžeme jednoduše nalézt jeho analytické řešení

pomocí elementárních metod řešení obyčejných diferenciálních rovnic (metoda separace proměnných)^[7].

Řešení modelu diskrétního systému:
U Malthusovského modelu růstu populace pro diskrétní systém přepokládejme, že proměnná čas nabývá pouze celočíselných hodnot , takže rovnice modelu vyjadřuje změnu proměnné počtu jedinců z nějakého času (celočíselného) do času a má tvar

.

Jedná se tedy o diskrétní dynamický deterministický model, kde můžeme jednoduše nalézt jeho analytické řešení jako součet členů geometrické posloupnosti, tj.

když předpokládáme, že .