Úloha předpokladů

Při analýze modelovaného systému, musíme vytvořit základní strukturu matematického modelu, která musí reflektovat naše předpoklady a teze o tom, jak systém funguje. Tyto teze mohou být uvedeny do formy základních předpokladů. V dalších analýzách systému bereme tyto předpoklady jako pravdivé, ale výsledky těchto analýz budou platné, pouze pokud tyto předpoklady jsou platné.

Ukážeme to na příkladu: Newton předpokládal, že hmotnost je obecně konstantní, zatímco Einstein uvažoval hmotnost jako proměnlivou. To je jeden z elementárních rozdílů mezi klasickou mechanikou a teorií relativity. Aplikací výsledků klasické mechaniky na objekt pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla vede k nesrovnalostem mezi teorií a pozorováním. Pokud jsou předpoklady dostatečně precizní, mohou okamžitě vést přímo k matematickým rovnicím popisujícím modelovaný systém. Ukážeme to následujícím příkladu>

Příklad 1: Výskyt sezónní chřipky

Identifikaci modelu ukážeme na systému výskytu sezónní chřipky v daném regionu. Jedna z nejběžnějších nemocí (v mírném pásmu na severní polokouli), kterou prodělal ve svém životě snad každý člověk, je chřipka, která se pravidelně ve větší míře vyskytuje v období od listopadu do dubna. Například v ČR dostane chřipku v tomto období 5 až 20 procent populace, přičemž počet úmrtí onemocněných chřipkou se pohybuje v desítkách jedinců [1]. Tyto modely náleží do epidemiologických modelů , [4], [5]. Budeme vytvářet model systému šíření chřipky, kde budeme předpokládat splnění následujících podmínek:

• Nemoc je přenášena kontaktem mezi infikovaným a zdravým jedincem, který není vůči této nemoci imunní. Tento jedinec se nazývá vnímavým (suspectible) jedincem.
• Všichni infikovaní jedinci mohou se stejnou pravděpodobností přenést nemoc, stejně jako všichni vnímaví jedinci mohou tuto nemoc dostat se stejnou pravděpodobností.
• U každé nemoci je důležitá doba, která je potřebná k tomu, aby se vnímavý jedinec po setkání s nákazou stal sám nakažlivým. Předpokládá se, že tato latentní doba je tak malá, že ji lze považovat za nulovou. Proto se vnímavý jedinec okamžitě po styku s nemocí stává infikovaným jedincem.
• Zkoumaná populace je uzavřená, tzn., že nedochází k narození žádných nových jedinců, neuvažujeme žádný možný pohyb obyvatelstva, mrtví jedinci nejsou z populace vyřazeni. Celkový počet jedinců v populaci je tedy konstantní a označíme jej N.

Populaci obyvatel budeme strukturovat do tří skupin Suspectible, Infective a Removed:

1. Suspectible je část populace, která chorobu neprodělala, ale může se jí nakazit, počet jedinců v čase označíme Suspectible.
2. Infective je část populace, která je infikovaná a infekční pro ostatní jedince a počet těchto jedinců v čase označíme Infective .
3. Removed je část populace, která již nemoc prodělala a nemoc již nepřenáší ani ji již nemůže získat, a počet těchto jedinců v čase označíme Removed . Do této skupiny zahrneme i zemřelé jedinci.

Tento model je např. v [5, 6] uváděn jako model SIR. Je však omezený, neboť systém šíření chřipky uvažuje bez vitální dynamiky populace, tzn., že tento model nebere v úvahu přírůstek populace ani úmrtnost.