Vývoj a implementace modelu v Maple

Model obecně sestavujeme (tj. vyvíjíme matematické rovnice) za určitých předpokladů a s využitím matematické analýzy dokazujeme jeho korektnost, konzistenci a stabilitu včetně existence řešení modelu. Jestliže je obtížné nalézt jeho analytické řešení, tak aproximujeme model pomocí numerických metod a hledáme jeho přibližné numerické řešení. Odhadnutí konvergence přibližného řešení k přesnému řešení modelu je dalším důležitým krokem v matematickém modelování.

Pro konstrukci matematického modelu je rozhodující co sledujeme při zkoumání systému. Z toho vyplyne, co budeme pokládat za významné prvky a vazby v systému, jak zahrneme vliv okolí systému a vstupů do systému (co zahrneme do modelu) a co jako podružné ze zkoumání systému ponecháme mimo matematický model a mimo naše úvahy. Důležitou roli zde hraje analýza citlivosti jednotlivých parametrů modelu a minimalizace jeho neurčitosti (matematická struktura a její parametry, vstupní data apod.).

Tvorba matematických modelů patří k tvůrčí činnosti a vyjadřuje kromě dobré znalosti modelové techniky (matematiky, numerické matematiky a ICT, v našem případě Maple) také dobrou znalost věcné problematiky zkoumaného systému. Každý model musí vycházet z konkrétní hypotézy odvozené z objektivní reality (skutečnosti), tj. zkoumaného systému.

Často se stává, že matematický model zkoumaného systému je publikován v dostupných zdrojích (literatura, časopisy, Internet apod.) nebo je popsán přímo v řešených systémech jako např. spojité deterministické modely . Tyto zdroje informací poskytují dobrý výchozí bod např. v modelování biologických systémů. S těmito informacemi je nezbytné postupovat velmi obezřetně. Problémy, s nimiž se můžeme při jejich použití setkat, jsou následující:

• Matematické struktury v  modelu systému jsou odvozené z dat v jiné oblasti (např. fyzikální nebo chemické konstanty v parametrech), která je nevhodná pro aplikaci modelu.
• Matematické struktury v  modelu systému popisují chování většiny dat, aniž by uvažovaly známé odchylky na koncích oblasti dat, nebo jejich variabilitu (proměnlivost).
• Experimentální podmínky (prostředí) při řešení publikovaného systému se podstatně liší od podmínek vyskytujících se v našem modelovaném systému.

Často nejsou matematické struktury v literatuře vyjádřeny přesně pro model zkoumaného systému. Například pojmenované a pomocné proměnné v matematickém modelu mohou být změněny během formulace matematické struktury. V jiném případě nelze některou hodnotu parametru stanovit přesně a lze odhadnout pouze jeho přibližnou hodnotu, která nám vnáší do modelu neurčitost a zkresluje nalezené řešení. V tomto případě se doporučuje stanovit jeho citlivost, abychom mohli posoudit jak je důležitý pro popis chování systému.

Implementace matematického modelu s využitím Maple spočívá v jeho algoritmizaci pro počítačové zpracování, naprogramování v programovacím jazyce Maple jeho odladění a verifikaci a vytvoření spustitelného aplikačního programu (výpočetního modulu či procedury) [2]. V dalším textu budeme využívat systému MapleCloud, kde byla zřízena skupina public, která obsahuje příklady dále uvedené. Připomínáme, že každý uživatel se může s využitím internetového prohlížeče připojit do systému MapleCloud na webu na adrese http://maplecloud.maplesoft.com/. Rovněž se může zaregistrovat do Maplesoft komunity na webové adrese (http://www.maplesoft.com/members/sign_up_form.aspx), kde stačí vyplnit několik informací a bude mu vytvořen samostatný účet s jeho přiděleným jménem.

Pokud má uživatel naistalovaný Maple může využít moderních ladících technik v Maple, případně i použít již vyvinuté a dostupné (open source) balíky využitelných podprogramů v Maple a výpočetní služby a vhodné výpočetní moduly z systému MapleCloud. Důležitá je analýza výpočetní složitosti vytvořeného programu v Maple a optimalizace využití příslušných balíků podprogramů i hardware neboť řešení matematického modelu může být velmi výpočetně náročné atd.

V příkladu 2 ukážeme Vývoj matematického modelu systému výskytu sezónní chřipky v Maple.

Příklad 2: Vývoj matematického modelu systému výskytu sezónní chřipky v Maple
Navážeme na příklad 1, kde populaci N obyvatel jsme strukturovali do tří skupin populace s počty jedinců Suspectible, Infective a Removed v daném čase  a uvedli jsme zde předpoklady strukturovaného epidemiologického modelu systému výskytu sezónní chřipky.
Maple nejprve  inicializujeme pomocí příkazu restart:

Při formulaci matematického modelu systému výskytu sezónní chřipky vyjdeme z Kermackova – Mc Kendrickova modelu, který tvoří soustava diferenciálních rovnic 1. řádu, kterou zapíšeme v Maple´a přiřadíme ji proměnné odesys:

V modelu (1) – (3) máme proměnné Infective , Suspectible, Removed a čas , dále dva kladné parametry (koeficient šíření nákazy) a  (koeficient, který představuje poměrnou část infikovaných jedinců, kteří přejdou do imunní skupiny Removed).

Systém rovnic (1) – (3)  má analytické řešení [3], které ukážeme v Příkladu 3.

Chceme dále najít podmínky, kdy soustava diferenciálních rovnice bude mít právě jedno řešení.

Předpokládejme, že pro skupiny populace v čase platí počáteční podmínky, které zapíšeme v Maple:

(4)

kde S0 a I0 jsou kladná čísla a předpokládáme, že v čase část populace Removed(0), která již nemoc prodělala, tak ji nepřenáší a ani ji již nemůže získat, je nulová.

Z rovnice (1) plyne, že pro je počet jedinců skupiny Infective, tj. funkce Infective(t) je klesající, neboť derivace Infective(t)/dt je záporná případně nulová. Z toho plyne, že by v tomto případě epidemie nezačala. Proto předpokládáme . Epidemie tedy začíná až když počet vnímatelných jedinců je větší než jistá prahová hodnota . Tomuto jevu se říká prahový efekt.

Tento systém diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami má pak jedno řešení.