Vlastnosti systémů, princip superpozice
Existují určité důležité vlastnosti systémů, které má smysl vždy vyšetřovat, neboť zjištění, že systém oplývá danou vlastností, může usnadnit jeho modelování, identifikaci či popis. U systémů tedy sledujeme následující vlastnosti.
- Kauzální / nekazuzální. Systém je kauzální, pokud jeho výstup závisí pouze na minulých a současných vstupních hodnotách – v jazyce českém se hovoří také o příčinnosti a následku. Kauzalitu nevyšetřujeme u systémů s prostorově závislými proměnnými – např. zpracování 2-D obrazu probíhá v daném systému s použitím vzorků obrazu ve všech směrech souřadného systému. Naproti tomu v reálném čase jsou všechny systémy, které má smysl uvažovat, kauzální, neboť „čas běží pouze dopředu“ – např. představa nekauzálního finančního systému, jehož výkonnost závisí na zítřejší hodnotě cenných papírů, je nesmyslná. Z uvedených příkladů se zdá, že se potencionální nekauzalitou není ani třeba zabývat, ovšem při analýze systémů na základě časových řad se často využívá nahraných dat do paměti, a zavádí se tak přirozeně nekauzální operace, jako je např. výpočet diference časové řady, viz příklad systému pro detekci bodů zlomu na obrázku 1.2.
-
Časově invariantní / časově proměnné. Systém je časově invariantní, pokud jeho odezva
na vstupní časovou řadu
je vždy stejná bez závislosti na prodlevách mezi buzeními. Jinými slovy je odezva časově invariantního systému na posloupnost posunutou v čase
odezvou v čase stejně posunutou:
. Biologické systémy nebo procesy nejsou ovšem kvůli své adaptabilitě či stárnutí časově invariantní. Použití časově invariantního systému pro zpracování časových řad generovaných biologickými procesy je možné jen tehdy, lze-li v omezeném časovém intervalu, který je dostatečný pro danou aplikaci, zavést omezující předpoklady. Robustnějším řešením pro zpracování časových řad generovaných z biologických procesů je nasazení systémů adaptivních, tj. časově proměnných.
- Lineární / nelineární. Lineární systémy jsou popsány lineárními diferenciálními nebo diferenčními rovnicemi. Vzhledem k tomu, že takové systémy lze poměrně snadno řešit, je často snahou vyšetřovat reálné nelineární systémy v určitých oblastech jako systémy lineární, a to pokud lze dosáhnout dostatečné přesnosti takovéto aproximace. Lineární systém je takový systém, ve kterém lze uplatnit princip superpozice. Ten se matematicky popisuje takto:
|
|
(1.3)
|
|
|
což je rovnice vyjadřující odezvu na buzení pomocí kombinace časových řad
, která odpovídá kombinaci výstupních časových řad
získaných při individuálním, nezávislém působení oněch
vstupních časových řad na lineární systém. Symbolem
je v rovnicích vyjádřen bezrozměrný diskrétní čas. Názorný příklad principu superpozice ukazuje obrázek 1.6.
Obr. 1.6: Ilustrační příklad principu superpozice. Zajímáme se o to, jaké je vlnění hladiny, je-li odezvou na rozviřování hladiny plovacími blanami jedné kachny a dvou kachňátek. Pátráme tedy po výstupu systému, který představuje vodní hladina, na buzení hned třemi zdroji. To se se může jevit jako složitá úloha vzhledem k tomu, že se vlny produkované jednotlivými kachnami na sebe superponují nebo se navzájem utlumují. Přijmeme-li zjednodušující předpoklad, že vodní hladina je lineárním systémem, pak tato úloha bude podle rovnice (1.3) velmi jednoduchá, neboť celkové vlnění určíme jako lineární kombinaci vlnění produkovaných jednotlivými zdroji - jako by působily na hladinu nezávisle. To znamená, že nám postačí odlovit všechny tři vrubozubé ptáky, nechat je vířit hladinu samostatně, jednotlivá vlnění změřit (nebo výpočtem určit vlnovou funkci) a po té tato vlnění zkombinovat podle rovnice (1.3).
