Lineární časově invariantní systémy a periodické signály, Fourierova řada
Při zkoumání odezvy LTI systému na jednotkový impuls byl v předchozí podkapitole odvozen operátor konvoluce a definován pojem impulsní charakteristika. Tato podkapitola se zabývá odezvou LTI systému na harmonickou časovou řadu, kterou lze vyjádřit v goniometrickém a exponenciálním tvaru následujícími funkcemi:
|
|
(2.4)
|
|
|
kde je amplituda signálu,
je normalizovaná úhlová frekvence[1] a
je počáteční fázový posuv. Průběh harmonické časové řady si lze představit jako rotující fázor v komplexní rovině, přičemž rychlost jeho rotace je dána právě normalizovanou úhlovou frekvencí
, kde
představuje počet vzorků harmonické časové řady v její jedné periodě. Harmonická časová řada je nekonečně dlouhá a ve frekvenční oblasti je její amplitudové spektrum reprezentováno v jedné půlperiodě čarou na jediné frekvenci, viz obrázek 2.2.
Zatímco v rovnicích (2.1) až (2.3) byla libovolná časová řada vyjádřena pomocí kombinace jednotkových impulsů, je v následující rovnici (2.5) provedeno vyjádření libovolné periodické časové řady pomocí harmonických složek.
|
|
(2.5)[2]
|
Takovýto rozklad se označuje jako Fourierova řada a kromě jejího exponenciálního tvaru (2.5) je Fourierova řada známa v matematické analýze také ve tvaru goniometrickém, kde jde o rozklad periodické funkce do kombinace goniometrických funkcí. V rovnici (2.5) je vyjádřena libovolná časová řada jako lineární kombinace harmonických časových řad, přičemž úhlová frekvence jednotlivých harmonických složek je vyjádřena jako k-násobek základní harmonické složky s úhlovou frekvencí
. Počet vzorků
v jedné periodě časové řady
zároveň určuje maximální počet harmonických složek ve Fourierově řadě. Je zřejmé, že Fourierova řada z diskrétního signálu je řada s konečným počtem koeficientů
. Je-li směs harmonických složek
přivedena na vstup LTI systému, pak jeho výstup je podle rovnice (2.5) opět směsí harmonických složek se stejnými úhlovými frekvencemi. Jednotlivé harmonické složky jsou násobeny komplexními čísly
, čímž dojde buď k zesílení, nebo k zeslabení dané složky a dále může vlivem tohoto násobení dojít také k posunu fáze dané složky. Na základě rovnice (2.5) lze tedy usuzovat, že LTI systém nevytváří nové frekvenční složky, ale pouze zesiluje nebo potlačuje frekvenční komponenty již existující ve zpracovávané časové řadě.
[1] Normalizovaná úhlová frekvence je mírou rychlosti změny v časové řadě. Zatímco běžná frekvence udává rychlost změny pomocí počtu cyklů za jednotku času (1 Hertz = jeden cyklus za sekundu), úhlová frekvence udává rychlost změny pomocí počtu radiánů za jednotku času. Normalizovaná frekvence
udává rychlost změny pomocí počtů cyklů za vzorek a v případě normalizované úhlové frekvence
jde o počet radiánů za vzorek. Výpočet normalizované frekvence (cykly za vzorek) se provádí prostým vydělením frekvence udávané v Hertzích (cykly za sekundu) vzorkovací frekvencí (vzorky za sekundu). Normalizovaná frekvence
a normalizovaná úhlová frekvence
jsou tedy bezrozměrné veličiny a jejich hodnoty jsou v intervalu
, respektive
Vzhledem k zaměření tohoto učebního textu výhradně na časové řady a nikoli na spojité signály, jsou zde rychlosti změny vyjadřované pouze pomocí normalizovaných bezrozměrných frekvencí a čas n zde vystupuje pouze ve své diskrétní podobě - rovněž bezrozměrně.
[2] Pro objasnění rovnice (2.5) viz komentovaný dotaz studenta.
