Filtry s konečnou impulsní charakteristikou
Filtry s konečnou impulsní charakteristikou se realizují obvykle nerekurzivním algoritmem. Tyto filtry svou diferenční rovnicí odpovídají MA systémům a bývají často označovány také jako nerekurzivní filtry nebo konvoluční filtry. Pojem moving average vcelku jasně osvětluje funkci MA nebo FIR filtru, neboť na výstup dává vážený průměr posledních vzorků časové řady na vstupu. Rovnice (4.1) ukazuje, že realizační koeficienty
FIR filtrů, které vlastně tvoří váhy výsledného váženého průměru, odpovídají přímo hodnotám impulsní charakteristiky
.
|
|
(4.1)
|
Přenosová funkce FIR systémů má polynomiální tvar, viz rovnice (4.2), z čehož lze usuzovat, že nulových bodů bude rozmístěno kdekoli v rovině z (obvykle přímo na jednotkové kružnici
) a M-násobný pól bude v počátku roviny z, tj. ve středu jednotkové kružnice. FIR filtry jsou tedy vždy stabilní (a totéž platí logicky i pro systémy MA).
|
|
(4.2)
|
Kromě zaručené stability je další výhodou FIR filtrů také možnost dosažení přesně lineární fázové frekvenční charakteristiky, což je často požadovaná vlastnost. Vykazuje-li totiž filtr lineární fázovou charakteristiku, dochází při zpracování časové řady takovým filtrem ke shodnému tzv. skupinovému zpoždění[1] jednotlivých harmonických komponent, a tvar časové řady tak není zkreslen. Lineární fázová charakteristika je zaručena v případě symetrické nebo antisymetrické impulsní charakteristiky, tj. pokud je splněna podmínka osové nebo bodové souměrnosti podle rovnice (4.3).
|
|
(4.3)
|
Filtry s lineární fázovou charakteristikou vykazují specifické rozložení nulových bodů, neboť je-li , pak i
. Pokud se jedná navíc o systém s reálnými koeficienty, pak platí také, že komplexně sdružené
a
jsou rovněž nulovými body přenosové funkce, a tedy nulové body takového filtru se vyskytují hned ve čtveřicích, viz obrázek 4.1.
Pro návrhy filtrů FIR se užívá celá řada metod, jejichž přehled včetně detailních postupů lze nalézt např. v [1] a [2]. Základní a přímočarou metodou je návrh zadáním průběhu modulové frekvenční charakteristiky. Po ekvidistantním vzorkování požadované frekvenční charakteristiky v N bodech[2] se aplikuje inverzní DFT, kterou je vypočtena impulsní charakteristika
:
|
|
(4.4)
|
Modulová frekvenční charakteristika výsledného filtru interpoluje přesně všech N zadaných vzorků, nicméně její průběh mezi nimi nelze nijak ovlivnit. Jsou-li požadovány strmé přechody mezi propustným a nepropustným pásmem, jsou ve výsledné frekvenční charakteristice patrné významné oscilace, viz obrázek 4.2. Právě těmito oscilacemi se odlišuje výsledná frekvenční charakteristika od jejího požadovaného ideálního průběhu.
Aby byla impulsní charakteristika navrhovaného filtru reálná a kauzální, je třeba při vzorkování pamatovat na symetrii modulové i fázové frekvenční charakteristiky. Pro sudé a liché počty vzorků a dále pro symetrickou a antisymetrickou
je možno z rovnice (4.4) odvodit čtyři typy FIR filtrů s lineární fází, viz tabulka 4.1.
Alternativně lze při návrhu zadat výpočetnímu programu (např. Matlab, Signal processing toolbox) pouze vzorky reálné modulové frekvenční charakteristiky a fázovou charakteristiku ponechat nulovou ve všech vzorcích. Výslednou impulsní charakteristiku je pak nutno kauzalizovat, tj. přeuspořádat pořadí jejich vzorků, jak je ukázáno v řešené úloze v této výukové jednotce.
Obr. 4.1: Příklady rozložení nulových bodů a pólů čtyř různých reálných FIR filtrů. U nulových bodů lze pozorovat specifické rozložení, neboť se vyskytují v komplexně sdružených
a recipročních párech.
Obr. 4.2: Modulová frekvenční charakteristika FIR filtru typu dolní propust metodou vzorkování frekvenční charakteristiky. Čáry a tečky v grafu představují 15 vzorků ideální horní propusti a tlustá čára představuje modulovou frekvenční charakteristiku výsledného filtru.
Tab. 4.1: Čtyři typy FIR filtrů s lineární fázovou frekvenční charakteristikou.
| Impulsní charakteristika | počet vzorků N |
|
Typ |
|
|
Lichý |
|
1 |
|
|
Sudý |
|
2 |
|
|
Lichý |
|
3 |
|
|
Sudý |
|
|
[1] Záporná derivace fázové frekvenční charakteristiky filtru podle úhlové frekvence se nazývá skupinové zpoždění filtru. Při lineární fázové charakteristice je skupinové zpoždění konstantní – nezávislé na frekvenci jednotlivých harmonických složek. FIR filtr řádu M s lineární fází má skupinové zpoždění M/2, a zpozdí tedy filtrovanou časovou řadu o M/2 vzorků.
[2] Vzhledem k periodicitě frekvenční charakteristiky jsou hodnoty Gd(wk) totožné pro k=0 a pro k=N. Řád výsledného FIR filtru získaného po N-bodové inverzní DFT bude M=N-1.
