Úlohy k procvičení

ÚLOHA 1: Pan Josef Vdoleček se přistěhoval do obce, jejíž zastupitelstvo před časem schválilo budoucím sousedům pana Josefa vystavět a provozovat autolakovnu přímo v uliční zástavbě (realitní kancelář na tento fakt pana Josefa pro jistotu neupozornila). Odbor životního prostředí obce s vyšší působností na četné stížnosti kvůli zápachu linoucímu se pravidelně z lakovny sice reagoval provedením místního šetření, avšak opožděnými kontrolami nebyly nikdy zjištěny nadlimitní koncentrace zapáchajících látek v okolním ovzduší, neboť provozovatelé lakovny stihli vždy v pravý včas uvést veškerou nákladnou filtraci do chodu. Pan Josef Vdoleček se proto rozhodl vzít vše do svých rukou, pořídil si certifikovaný chemický plynový analyzátor a ovzduší na svém dvorku průběžně monitoroval a to tak, že každou hodinu změřil koncentrace zapáchajících látek a zapsal si je do sešitu v programu MS Excel pro pozdější analýzu. Jev, který sledoval, se však skládal z více komponent, neboť zápach vypouštěla v krátkých intervalech s průměrnou periodou 4 hodiny (opravy karosářských dílů) jednak lakovna a dále ke koncentracím zapáchajících látek přispívaly i pozvolné děje s průměrnou periodou 12 hodin (provoz továren) od vzdálenějších producentů zápachu. Úkoly:

1. Navrhněte FIR filtr pro odstranění rušivé složky v časové řadě reprezentující monitoring údajů o koncentraci zapáchajících látek na dvorku pana Josefa. Volte filtr s polynomem takového řádu, aby zpoždění filtru bylo maximálně 10 hodin.
2. Navržený filtr popište impulsní charakteristikou a diferenční rovnicí.
3. Vykreslete frekvenční charakteristiku navrženého filtru.
4. Zkontrolujte linearitu fázové charakteristiky a určete skupinové zpoždění filtru.
5. Je nutné u tohoto typu filtru kontrolovat stabilitu?

Řešení

Příslušný program pro Matlab je na obrázku 4.8.

a) Volíme filtr s nejvyšším možným řádem, který nám ještě umožní požadované skupinové zpoždění: . Počet vzorků frekvenční charakteristiky: . Rušivá složka časové řady určené k filtraci má delší periodu než složka užitečná – filtr tedy bude typu horní propust. Rozvahu ve frekvenční doméně a návrh filtru ukazují komentované obrázky 4.3 a 4.4.

b) Viz obrázek 4.5.

c) Viz obrázek 4.6.

d) Fázová charakteristika je dle očekávání lineární – impulsní charakteristika vykazuje sudou/lichou symetrii. Body zlomu odpovídají nulovým bodům přenosové funkce. Odečtení skupinového zpoždění z grafu je na obrázku 4.6.

e) FIR filtry jsou vždy stabilní, neboť obsahují pouze násobné póly v počátku. Pro zajímavost je rozložení nulových bodů ukázáno na obrázku 4.7.

 

Obr. 4.3:  (Úloha 1) – rozvaha ve frekvenční doméně. Normované úhlové frekvenci 2p  odpovídá vzorkovací frekvence – zde vyjádřeno pomocí vzorkovací periody. Dalším dělením frekvenční osy (přerušované čáry) jsou orientačně vyznačeny periody jevů a nakonec tenkou tlustou čarou naznačen ideální průběh modulové frekvenční charakteristiky.

 

 

Obr. 4.4:  (Úloha 1) – návrh horní propusti vzorkováním frekvenční charakteristiky. Požadovaná modulová frekvenční charakteristika je symetrická podle 10. vzorku.

 

 

Obr. 4.5:  (Úloha 1) – impulsní charakteristika navrženého FIR filtru. Jeho diferenční rovnice: y(n)=h₀x(0)+h₁x(1)+…+h₂₁x(21).

 

 

Obr. 4.6:  (Úloha 1) – modulová (nahoře) a fázová (dole) frekvenční charakteristika navrženého FIR filtru. Z grafu fázové charakteristiky lze odečíst její směrnici, a určit tak skupinové zpoždění, které je v tomto případě deset vzorkovacích intervalů, tj. 10 hodin.

 

 

Obr. 4.7:  (Úloha 1) – rozložení nulových bodů a pólů navrženého filtru FIR.

 

Obr. 4.8: (Úloha 1) – řešení v Matlabu.

 

ÚLOHA 2: Navrhněte pro pana Josefa Vdolečka, se kterým jste se seznámili v úloze 1, IIR filtr 20. řádu a porovnejte jeho vlastnosti s FIR filtrem. Upozorněte pana Josefa na eventuální obtíže vyplývající z použití IIR filtru.

Řešení

Příslušný program pro Matlab je na obrázku 4.11. Frekvenční charakteristika Butterworthova IIR filtru 20. řádu je na obrázku 4.9 a rozložení nulových bodů a pólů je na obrázku 4.10. Pana Josefa Vdolečka je třeba upozornit na nelinearitu fázové frekvenční charakteristiky, díky které se jednotlivé harmonické složky zpracovávané časové řady dostanou na výstup s různým skupinovým zpožděním, a dojde tak ke tvarovému zkreslení výstupní časové řady.

Obr. 4.9:  (Úloha 2) – modulová (nahoře) a fázová (dole) frekvenční charakteristika IIR Butterworthova filtru typu horní propust 20. řádu. V grafu fázové charakteristiky lze sledovat její nelineární průběh.

 

Obr. 4.10: (Úloha 2) – rozložení nulových bodů a pólů IIR Butterworthova filtru typu horní propust 20. řádu.

 

Obr. 4.11: (Úloha 2) – řešení v Matlabu.