Časové průměry

Časový průměr posloupnosti nebo časové řady x(n) je definován jako:

(6.2)

Časovými průměry se má smysl zaobírat pouze pro takové časové řady, pro které limita (6.2) existuje. Jedná se např. o periodické časové řady. U těchto je časový průměr roven nultému koeficientu a₀ Fourierovy řady (rovnice 2.5). Pro monotónně rostoucí časové řady (např. řady s lineárním nebo exponenciálním trendem) nebo časově ohraničené řady nelze tyto časové průměry definovat vůbec. Časové průměry je užitečné zavádět zejména pro časové řady, které se označují jako stacionární, tj. řady, jejichž statistické momenty se v čase nemění^[1]. Toto omezení není tak restriktivní, jak se může na první pohled zdát, protože v mnoha případech lze nestacionární časové řady považovat v určitých intervalech za stacionární.

Dvě vlastnosti časových průměrů, které jsou důležité pro další odvozování, jsou:

1. Linearita. Časový průměr lineární kombinace časových řad x(n) a y(n) je roven lineární kombinaci časových průměrů pro libovolné konstanty a, b:

(6.3)

1. Časová invariantnost. Jakékoli zpoždění časové řady o n₀ vzorků nemění její časový průměr a ten je vždy stejný jako její střední hodnota m_x:

(6.4)

Notaci časových průměrů lze zobecnit i na funkce časových řad:

(6.5)

Příkladem může být průměrný výkon časové řady ms definovaný v rovnici 5.1. Souvislost průměrného výkonu časové řady s jejím rozptylem s² ukazují následující dvě rovnice:

(6.6)

(6.7)

kde s_x je směrodatná odchylka.