Repetiční časové řady s náhodným rušením

Repetiční časovou řadu lze v případě aditivního rušení vyjádřit jako součet užitečné složky s a rušivé složky n, které jsou navzájem nezávislé (takový byl předpoklad stanovený na začátku této výukové jednotky - viz Předpoklady pro kumulační zvýrazňování užitečné složky časových řad v šumu). Při splnění podmínky časové koherence repetic lze k-tý vzorek j-té repetice vyjádřit součtem (viz také obr. 5.3):

(5.5)

a posloupnost kumulovaných (či váženě zprůměrovaných) vzorků v jedné repetici se vyjádří jako lineární kombinace M repetic:

(5.6)

kde a₁, a₂, … a_M jsou váhy jednotlivých repetic – např. pro prosté průměrování^[1] platí, že a_j=1/M pro j=1, 2, … M. Pro stanovení, jak se zlepší poměr užitečné složky ke složce rušivé, tj. zlepšení SNR, lze rovnici (5.6) přepsat do tvaru:

(5.7)

Z prvního členu pravé strany rovnice (5.7) lze vyčíst změnu užitečné složky s_j(k), a sice na - násobky původních hodnot jejich vzorků. Druhý člen v rovnici (5.7) pak vyjadřuje lineární kombinaci M realizací náhodného šumu – konkrétní změnu v zastoupení rušivé složky v kumulované časové řadě tedy nelze z rovnice (5.7) přímo vyjádřit. Za předpokladu, že šum je generován náhodným procesem s nulovou střední hodnotou, lze očekávat, že pro nekonečně velký počet navzájem nekorelovaných repetic n_j(k), j=1,2,…,∞ bude rušivá složka ve výsledné kumulované repetici redukována tak že x(k)_M →s(k)_M. V reálných podmínkách je však M<<∞ a zbytková rušivá složka může být nejlépe charakterizována svým rozptylem. Pro rozptyl lineární kombinace náhodných veličin z druhého členu rovnice (5.7) platí:

(5.8)

kde σ_j² jsou rozptyly jednotlivých náhodných veličin a σ_ij jsou kovariance dvojic členů kombinace [3]. Za předpokladu, že je šum generován stacionárním procesem, bude jeho rozptyl stejný ve všech repeticích σ_j² = σ², j = 1,2,…,M. V takovém případě lze pro rozptyl zbytkové rušivé složky σ_M² po kumulaci přepsat vztah (5.8) na:

(5.9)

Je-li splněn úvodní předpoklad, že realizace šumu v jednotlivých repeticích jsou na sobě nezávislé, pak druhý člen v rovnici (5.9) bude nulový a po kumulaci se změní rozptyl rušivé složky na - násobek původního rozptylu. Pokud tento předpoklad splněný není, rozptyl zbytkové rušivé složky je vyšší, a zhoršuje se tak výsledek kumulačního zvýrazňování užitečné složky časové řady.

Z rovnic (5.1), (5.2), (5.7) a (5.9) lze odvodit výsledné výkonové zlepšení poměru signálu k šumu  K_ms:

(5.10)

a amplitudové zlepšení poměru signálu k šumu K_rms:

(5.11)

Z rovnic (5.10) a (5.11) je evidentní, že zlepšení poměru signálu k šumu s využitím kumulačních technik je závislé pouze na počtu repetic M a na konfiguraci váhových koeficientů a_j. Je důležité poznamenat, že zlepšení K_ms a K_rms jsou zlepšení průměrná, která budou dosažitelná pouze při velkém počtu repetic, tj. při velkém počtu realizací náhodného šumu. Pro nízký počet repetic je nutné počítat s tím, že některé vzorky ve výsledné repetici po kumulaci mohou být zatíženy třeba i větší chybou než před aplikací kumulačního zvýrazňování užitečné složky časových řad [3].

---

^[1] Kumulace s rovnoměrnými vahami.