Logaritmicko-normální rozdělení

O náhodné veličině řekneme, že má logaritmicko-normální rozdělení (log-normal distribution) právě tehdy, když veličina , která je přirozeným logaritmem veličiny , má normální rozdělení. A naopak, když veličina má normální rozdělení, pak náhodná veličina má rozdělení logaritmicko-normální. Rozdělení náhodné veličiny tedy jednoznačně souvisí s parametry normálního rozdělení, které označujeme a a které mají význam střední hodnoty a rozptylu normálního rozdělení korespondující náhodné veličiny . Hustota pravděpodobnosti, riziková funkce a funkce přežití veličiny s logaritmicko-normálním rozdělením jsou dány vztahy

	(3)

kde je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení s parametry a . Z výše uvedeného je vidět, že riziková funkce a funkce přežití veličiny T nelze vyjádřit jednoduše, jako tomu bylo v případě exponenciálního a Weibullova rozdělení, což však nic nemění na jeho použitelnosti v analýze přežití. Naopak, riziková funkce logaritmicko-normálního rozdělení má díky své definici specifický průběh, který není monotónní, ale zpočátku je rostoucí, následně dosahuje svého maxima a pro klesá zpět k nule. Logaritmicko-normální rozdělení je tedy vhodné zejména v těch případech, kdy můžeme v období bezprostředně po zahájení sledování (diagnóza) očekávat nárůst rizika sledované události (např. po chirurgickém zákroku), které však po dosažení maximální hodnoty opět klesá (pacienti, kteří se zotaví ze srdečního selhání). Pomocí logaritmicko-normálního rozdělení lze však modelovat i monotónně klesající rizikovou funkci.

Na ukázku je na obr: 3 zobrazen graf rizikové funkce a funkce přežití v případě standardizovaného logaritmicko-normálního rozdělení náhodné veličiny T, tj. kdy má náhodná veličina Y = ln(T) nulovou střední hodnotu a rozptyl roven jedné.

Obr: 3. Riziková funkce v případě standardizovaného logaritmicko-normálního rozdělení doby přežití.