Odhad regresních koeficientů Coxova modelu

Pro odhad regresních koeficientů modelu navrhl David Cox tzv. metodu parciální věrohodnosti (partial likelihood method), která spočívá v tom, že místo standardní funkce věrohodnosti je maximalizována tzv. parciální věrohodnostní funkce (partial likelihood function). Parciální funkce věrohodnosti není závislá na specifikaci a závisí pouze na vektoru regresních koeficientů . Odvození je následující: uvažujme soubor subjektů s pozorovanými událostmi . Je-li vektor vysvětlujících proměnných -tého subjektu konstantní v čase, pak lze podmíněnou pravděpodobnost, že k výskytu sledované události v čase došlo mezi všemi subjekty v riziku právě u -tého subjektu, vyjádřit pomocí vztahu

kde je indikátor toho, zda je -tý pacient v riziku sledované události v čase , tedy pokud , pokud . Ve výše uvedeném vztahu pro jednoduchost předpokládáme, že v každém čase se vyskytla pouze jedna událost. Za předpokladu, že pozorované časy sledovaných událostí jsou navzájem nezávislé, můžeme parciální věrohodnostní funkci sestrojit jako součin jednotlivých komponent přes všechny pozorované časy , tedy jako

Výpočetně je jednodušší pracovat se součtem než se součinem, proto se pro odhad regresních koeficientů používá maximalizace přirozeného logaritmu parciální věrohodnostní funkce, který můžeme vyjádřit jako

Subjekty s cenzorovanými časy přežití přispívají k parciální věrohodnostní funkci pouze jako součást skupiny v riziku; příslušný odhad vektoru regresních koeficientů pak již získáme maximalizací funkce ,tedy položením příslušných derivací   podle   až rovno nule a vyřešením příslušného systému rovnic o neznámých parametrech.