Výpočetní vztahy
Všechny výše definované funkce popisující pravděpodobnostní chování náhodné veličiny jsou matematicky ekvivalentní, neboť při znalosti jedné z nich lze dopočítat ostatní [2]. Vzájemné výpočetní vztahy lze odvodit následující úvahou. Součástí definice rizikové funkce je podmíněná pravděpodobnost, respektive pravděpodobnost výskytu sledované události v intervalu
za podmínky, že k ní nedošlo do času
. Uvědomíme-li si, že
lze pomocí věty o podmíněné pravděpodobnosti vyjádřit jako
, můžeme podmíněnou pravděpodobnost v definici rizikové funkce vyjádřit pomocí následujícího vztahu
|
|
(2.6)
|
Podíváme-li se na definici distribuční funkce a funkce přežití
, můžeme vztah (2.6) přepsat jako
|
|
(2.7)
|
Když dosadíme vztah (2.7) do definice rizikové funkce dané vztahem (2.4), zjistíme, že výsledek odpovídá definici hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny , kterou dělíme funkcí přežití. Výsledkem je tedy vztah rizikové funkce, funkce přežití a hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny
ve formě dané vztahem
|
|
(2.8)
|
Tento vztah lze dále upravit aplikací pravidla pro derivaci složené funkce a pravidla pro derivaci přirozeného logaritmu, čímž získáme následující vztah
|
|
(2.9)
|
Pokud tento výsledek dosadíme do definice kumulativní rizikové funkce dané vztahem (2.5), získáme vzorec dokumentující přímou souvislost funkce přežití a kumulativní rizikové funkce, který má tvar
|
|
(2.10)
|
anebo jinak lze také psát
|
|
(2.11)
|
Výpočetní vztahy pro funkce ,
a
jsou v praxi opravdu využívány. Často je některá z nich odhadnuta pomocí odpovídajícího statistického odhadu a zbylé jsou dopočítány. Praktickým příkladem aplikace výpočetních vztahů je Breslowův odhad funkce přežití definovaný ve výukové jednotce Neparametrické odhady.
