Kaplanův-Meierův odhad funkce přežití
Nejznámějším a nejpoužívanějším neparametrickým odhadem funkce přežití, který se stal standardem pro hodnocení přežití v klinických studiích je Kaplanův-Meierův odhad funkce přežití (Kaplan-Meier estimator) [1]. Myšlenka výpočtu je jednoduchá, aby byl subjekt v čase bez sledované události (aby se např. pacient s nádorovým onemocněním dožil času ), nesmí se u něj událost vyskytnout v žádném čase takovém, pro nějž platí, že . Abychom tedy mohli odhadnout pravděpodobnost, že u daného subjektu se do času nevyskytne sledovaná událost, musíme odhadnout odpovídající pravděpodobnosti také pro všechny časy , které času předcházejí. Předpokládejme n různých časů přežití takových, že . Pak pravděpodobnost přežití bez výskytu sledované události až do času , , lze vyjádřit pomocí vztahu
|
(3.1)
|
|
|
|
Abychom získali odhad , je třeba specifikovat jednotlivé komponenty rovnice (3.1). Vzhledem k tomu, že nemáme k dispozici jinou vstupní informaci než pozorované hodnoty, můžeme pravděpodobnost přežití daného času vyjádřit pouze s pomocí údajů o úmrtí v daném čase. Obecně lze tedy psát
|
(3.2)
|
kde je počet sledovaných událostí zaznamenaných v čase a je počet subjektů v riziku výskytu sledované události v čase , což je počet subjektů, kteří bez sledované události přečkali čas . Funkci přežití pak můžeme odhadnout pomocí vztahu
|
(3.3)
|
Při odhadu pravděpodobností přežití jednotlivých časů je třeba adekvátně zohlednit cenzorování. Cenzorované časy přežití totiž nelze hodnotit stejně jako kompletní pozorování, neboť nepřispívají k , ale zároveň je nelze z hodnocení vyřadit. Kaplanův-Meierův odhad pracuje s cenzorováním tak, že tato pozorování vypadávají ze skupiny subjektů v riziku ihned po zaznamenaném čase cenzorování. Je-li tedy čas t cenzorovaný a platí, že , pak daný subjekt je v čase započítán do skupiny subjektů v riziku, ale v následujícím pozorovaném čase výskytu sledované události ho již do skupiny v riziku nezahrnujeme. Výsledný vzorec pro Kaplanův-Meierův odhad funkce přežití lze tedy jednoduchou úpravou vztahu (3.3) zapsat jako
|
(3.4)
|
Prakticky počítáme výše uvedený součin pouze přes kompletní časy přežití, nicméně teoreticky ho lze definovat přes všechny pozorované časy přežití s tím, že cenzorované časy přežití k odhadu přispívají pouze prostřednictvím , neboť pro cenzorované časy je .