![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Základní pojmy
V teorii množin bude používat následující symboliku:
|
množiny |
|
prvky |
|
prvek množiny |
|
pro libovolné |
|
existuje |
|
existuje právě jedno |
|
konjunkce, disjunkce, negace |
|
průnik, sjednocení |
|
implikace, ekvivalence |
|
sumace, multiplikace |
Množina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.
Množina v naivní teorii množin je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny. (definice podle G. Cantora)
Skutečnost, že je prvkem množiny
značíme
. Skutečnost, že
není prvkem množiny
značíme
. Prvky množiny lze zadat buďto výčtem, nebo pomocí vlastnosti, kterou musí splňovat.
Pro označení některých často používaných množin budeme v textu používat následující symboly:
|
- množina přirozených čísel, tj. 1, 2, 3,... Číslo 0 do množiny přirozených čísel nepatří. |
|
- množina celých čísel, tj. přirozená čísla, 0 a všechna čísla opačná k přirozeným číslům. |
|
- racionální čísla, tj. čísla, která se dají vyjádřit ve tvaru |
|
- reálná čísla, tj. všechny čísla, která lze znázornit na číselné ose. |
|
- komplexní čísla, tj. všechny uspořádané dvojice reálných čísel. |
Platí, že
Příklad: Zapište množinu, která obsahuje čísla 1 až 5:
Prázdná množina je taková množina, která neobsahuje žádné prvky. Značíme ji symbolem , případně
. Zápis
neoznačuje prázdnou množinu, ale jednoprvkovou množinu, jejíž jediným prvkem je prázdná množina.
Počet prvků množiny někdy označujeme slovem mohutnost či kardinalita a značíme jej , kde
je množina. Množina, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná. Množina, která není konečná, je nekonečná.
Dvě množiny nazveme disjunktní právě tehdy, když mají prázdný průnik .
Množiny a
se rovnají, zapisujeme
, právě tehdy, když každý prvek množiny
je prvkem množiny
a současně každý prvek množiny
je prvkem množiny
.
Nechť a
jsou množiny. Řekneme, že
je podmnožinou množiny
, značíme
, právě když platí
, tj. libovolný prvek množiny
je současně i prvkem množiny
. Vztah být podmnožinou nazýváme také inkluze (negací je exkluze).
Množinová inkluze definuje relaci uspořádání, protože platí:
|
reflexivita |
|
antisymetrie |
|
antisymetrie |
Nechť je množina. Množinu všech podmnožin množiny
nazýváme potenční množina množiny
a značíme
, někdy též
.
Ukázky potenčních množin:
Příklad: Kolik prvků má potenční množina n-prvkové množiny?
Otázku můžeme přeformulovat na "kolik různých podmnožin má n-prvkové množina?" Protože každá z podmnožin je jednoznačně určená svými prvky, je počet podmnožin roven počtu všech kombinací prvků množiny. Každý prvek má přitom dvě možnosti - buďto v dané množině je, nebo ne. Ke dvěma možnostem prvního prvku přibudou dvě možnosti druhého prvku, ke každé z výsledných čtyř možností pak přibudou dvě možnosti třetího prvku, atd. Celkem tedy
. Platí tedy že
.