Celá čísla

Budeme předpokládat, že jsme seznámeni s pojmem přirozeného čísla (1,2,3,4,....,101,102,...,n,...). Zjednodušeně můžeme říci, že přirozená čísla jsou čísla, která používáme k běžnému počítání objektů z reálného světa. K těmto celým číslům nyní přidáme číslo nula (0), které můžeme definovat následujícím způsobem (n je libovolné přirozené číslo): 0 + n = n + 0 = n. Nakonec k této množině můžeme přidat také záporná čísla (-n) které můžeme definovat následujícím způsobem: n + (-n) = (-n) + n = 0.

Zápis n + (-n) = 0 můžeme zjednodušeně psát n - n = 0. Množinu přirozených čísel, záporných čísel a nuly souhrnně nazýváme celá čísla. Množina celých čísel se v matematice většinou označuje Z, podle Zahlen (německy čísla). V informatice se pro množinu celých čísel používá termín integers, pro přirozená čísla termín positive integers případně negative integers pro záporná čísla.

Množina celých čísel je uzavřená na operaci sčítání a násobení, což znamená, že součet i součin dvou celých čísel je opět celé číslo. Navíc oproti přirozeným číslům je množina celých čísel uzavřená i pro odčítání. Není však uzavřena pro dělení, neboť podíl dvou celých čísel už nemusí být celé číslo (např. 1/2).

Poznámka 1.1: Přirozeným číslem (číslem z oboru přirozených čísel) se v matematice rozumí kladné celé číslo (1, 2, 3, …). V oborech jako matematická logika, teorie množin a informatika se mezi přirozená čísla počítá i nula, což však v teorii čísel může vést k potížím. Pokud by mohlo dojít k nejasnostem, budeme množinu celých kladných čísel včetně nuly značit Z⁰, a pro kladná celá čísla budeme používat označení Z⁺.

Definice 1.1: To že je množina M uzavřená na nějakou operaci * se v teorii čísel vyskytuje velmi často a znamená to, že když tuto operaci aplikujeme na libovolné prvky z množiny M, tak výsledek bude také náležet do množiny M. Zapíšeme to následujícím způsobem:

Následující seznam představuje základní vlastnosti pro libovolná celá čísla:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.