![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Důkaz správnosti úsudku
Chceme-li zjistit zda klauzule je důsledkem (logickým a tedy i sémantickým) množiny klauzulí
, vytvoříme množinu
a zjistíme, zda je splnitelná, či nikoliv. Je-li
splnitelná ϕ není důsledkem
. Je-li nesplnitelná, je
důsledkem
. Jinými slovy můžeme říci, že z množin předpokladů
plyne důsledek
právě když množina
obsahuje prázdnou klausuli
.
Úloha: Dokažme správnost úsudku:
Kdo zná Pavla a Marii, ten Marii lituje.
Někteří nelitují Marii, ačkoli ji znají.
–––––––––––––––––––––––––––––––
Někdo zná Marii, ale ne Pavla.
Řešení:
Klausule:
rezoluce 1., 2., substituce
-
rezoluce 3., 5.
-
rezoluce 4., 6., substituce
-
rezoluce 3., 7.
Vyšla prázdná klauzule, z čehož plyne že množina je nesplnitelná (kontradikce), proto je původní úsudek logicky správný.
Úloha: Dokažme správnost úsudku:
Všichni členové vedení jsou majiteli obligací nebo akcionáři.
Žádný člen vedení není zároveň majitel obligací i akcionář.
Všichni majitelé obligací jsou členy vedení.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Žádný majitel obligací není akcionář.
Řešení:
–––––––––––––––––––––
Klausule:
-
1. předpoklad
-
2. předpoklad
-
3. předpoklad
-
negovaný závěr
-
(po Skolemizaci)
-
rezoluce 2., 3.
-
rezoluce 4., 6., substituce
-
rezoluce 5., 7.
Úsudek je správný.
Poznámka: Všimněme si, že jsme první klausuli při důkazu nepoužili. Tedy závěr vyplývá již z druhého a třetího předpokladu (první je pro odvození důsledku nadbytečný).
Úloha: Dokažme správnost úsudku:
Každý, kdo má rád Jiřího, bude spolupracovat s Milanem.
Milan nekamarádí s nikým, kdo kamarádí s Láďou.
Petr bude spolupracovat pouze s kamarády Karla.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Jestliže Karel kamarádí s Láďou, pak Petr nemá rád Jiřího.
Řešení:
––––––––––––––––––––
Klausule:
1. předpoklad
2. předpoklad
3. předpoklad
-
negovaný
-
závěr
-
rezoluce 4., 2., substituce
-
rezoluce 4., 2., substituce
-
rezoluce 4., 2., substituce
rezoluce 5., 8.
Úsudek je správný.
Úloha: Dokažme správnost úsudku:
Každý muž má rád fotbal a pivo.
Xaver má rád pouze milovníky fotbalu a piva.
Někteří milovníci fotbalu nemají rádi pivo.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Některé ženy nemá Xaver rád.
Řešení:
1. předpoklad
2. předpoklad
3. předpoklad
negovaný závěr:
,
(žena = není muž)
Kluasule:
-
-
---------------------------------------------
rezoluce 4., 6.
-
rezoluce 7., 8.
rezoluce 2., 9.
-
rezoluce 6., 10.
Úsudek je správný.