Užití transformace Z pro řešení speciální lineární diferenční rovnice

Uvažujme počáteční úlohu pro lineární diferenční rovnici s konstantním koeficientem

(7)

Její řešení budeme hledat ve třídě kauzálních posloupností. Rovnici přepíšeme na tvar

a obě její strany přetransformujeme. S využitím linearity transformace dostaneme

Levou stranu upravíme podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.3.2,

Z této rovnice vyjádříme obraz řešení úlohy Transformace Z a její užití  (7),

Podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.4.1 a Transformace Z a její užití 2.4.2 nyní můžeme psát

kde posloupnosti   jsou dány předpisem

Ještě využijeme vztah konvoluce a transformace podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.6. Pro obraz hledané posloupnosti tak dostaneme

nebo stručně  Řešení počáteční úlohy je tedy dáno výrazem

neboť transformace je prosté zobrazení. Tento výsledek ještě můžeme rozepsat do tvaru

což je stejný výsledek jako v důsledku Lineární rovnice 2.7 věty Lineární rovnice 2.5.