Úlohy k procvičení

V úlohách 1-5 převeďte obecnou diferenční rovnici na explicitní rovnici prvního typu a na rekurentní formuli.

Cvičení 1.

Řešení

Cvičení 2.

Řešení

Cvičení 3.

Řešení

Cvičení 4.

Řešení

Cvičení 5.

Řešení

Cvičení 6. Rekurentní formuli Diferenční rovnice (9) přepište ve tvaru explicitní diferenční rovnice druhého řádu.

Řešení

Cvičení 7. Odvoďte model vývoje velikosti populace za následujících předpokladů: Časová jednotka je zvolena tak, že v laboratorních podmínkách (v naprosto čistém prostředí) se velikost populace za tuto jednotku zdvojnásobí. V přirozeném a omezeném prostředí tato populace vytváří nějaké produkty svého metabolismu. Tyto látky jsou tak toxické, že v prostředí jimi nasyceném je populace za časovou jednotku zdecimována (její velikost se zmenší na desetinu původní). Odpadní produkty metabolismu se však rozkládají tak rychle, že za zvolenou časovou jednotku z nich zbyde polovina.
Určete kapacitu prostředí (velikost populace, která je s~prostředím v dynamické rovnováze).

Řešení

kde je libovolná klesající funkce taková, že

 

Se svým prostředím je v dynamické rovnováze populace, jejíž velikost je kde je jediné kladné řešení rovnice
Konkrétní možná volba:

pak