Analýza a modelování dynamických biologických datDiskrétní deterministické modely Lineární rovnice Úlohy k procvičení

Používané symboly | Přípravné úvahy |

Operátor posunu | Diference | Sumace | Diference a posun vyššího řádu |

Diferenční a sumační počet |

Diference a sumy některých posloupností | Přehled vzorců pro diferenci a sumaci |

Úlohy k procvičení |

Diferenční rovnice |

Lineární rovnice |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod |

Model prvního řádu | Model druhého řádu |

Lineární rovnice prvního řádu |

Homogenní rovnice a exponenciální posloupnost | Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty | Kvalitativní vlastnosti řešení lineární rovnice ve zvláštních případech |

Lineární rovnice k-tého řádu |

Fundamentální systém řešení homogenní rovnice | Nehomogenní rovnice a metoda variace konstant | Homogenní rovnice s konstantními koeficienty |

Příklad: Rovnice druhého řádu. |

Rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou |

Systémy lineárních rovnic prvního řádu |

Homogenní systém a fundamentální matice | Nehomogenní systém a metoda variace konstant | Systém s konstantní maticí | Ekvivalence lineární rovnice k-tého řádu a systému lineárních rovnic prvního řádu |

Úlohy k procvičení |

Některé explicitně řešitelné rovnice |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod | Riccatiho a Bernoulliova rovnice | Homogenní rovnice |

Implicitní rovnice x(t+1)2+a(t)x(t+1)x(t)+b(t)x(t)2=0 |

Logaritmicky lineární rovnice | Rovnice řešitelné speciálními substitucemi |

Goniometrické a hyperbolické substituce |

Rovnice I | Rovnice II | Rovnice III |

Logistická rovnice |

Úlohy k procvičení |

Autonomní rovnice |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod | Autonomní rovnice prvního řádu |

Grafické řešení | Rovnovážné body a jejich stabilita | Cykly a atraktory | Autonomní rovnice závislé na parametru |

Autonomní systémy |

Stabilita lineárních systémů | Linearizace nelineárních systémů v okolí rovnovážného bodu | Invariantní množiny autonomních systémů |

Autonomní rovnice vyšších řádů |

Transformace Z a její užití |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod | Transformace Z |

Konvoluce | Užití transformace Z pro řešení speciální lineární diferenční rovnice |

Volterrova diferenční rovnice konvolučního typu |

Aplikace |

Výstupy z výukové jednotky | Růst populace |

Fibonacciovi králíci a jejich modifikace | Süßmilchova populace a Leslieho matice | Malthusovské modely |

Dynamika dvou interagujících populací |

Model konkurence | Model dravec-kořist Johna Maynarda Smithe |

Populační genetika |

Gen se dvěma alelami | Analýza rovnice Aplikace (75) v autonomním případě | Replikátorová rovnice |

Problém extinkce |

Mizení rodové linie | Vývoj velikosti rodové linie |

Úvod do matematického modelování | Vybrané kapitoly z matematického modelování |

Úlohy k procvičení

V úlohách Cvičení 1.-6. najděte řešení dané rovnice s počáteční podmínkou

Cvičení 1.

Řešení

Cvičení 7. Najděte obecné řešení rovnice v prostorech posloupností a

Řešení

Cvičení 8. Nechť je na konci každého období do banky ukládána částka $ 200 a banka platí každé období úrok 0,8%. Jaká je uložená částka po n obdobích.

Řešení

Uložená částka v -tém období je řešením počáteční úlohy tedy

Cvičení 9. Dluh $ 12 000 má být amortizována splátkami $ 380 na konci každého měsíce, plus jedna závěrečná splátka menší. Úrok 12%,p.a. je připisován každý měsíc. Určete čas splácení (v měsících) a závěrečnou splátku.

Řešení

Dluh v -ém měsíci je řešením počáteční úlohy Závěrečná splátka

Cvičení 10. Úvěr $ 80 000 má být splacen pravidelnými měsíčními splátkami. Úroková sazba je 10%,p.a. Jaká je měsíční splátka, aby byl dluh splacen do 30 měsíců.

Řešení

Nesplacený úvěr v -ém měsíci je řešením počáteční úlohy Měsíční splátka

Cvičení 11. Hypotéka na 30let má úrokovou sazbu 8%,p.a. Jste schopni splácet $ 1 000 měsíčně. Kolik si můžete půjčit?

Řešení

Nesplacená hypotéka v -ém měsíci je řešením počáteční úlohy Hypotéka

Cvičení 12. Pokud organismus žije, je v jeho tkáních zastoupení radioaktivního uhlíku ¹⁴C stejné jako v atmosféře. Po uhynutí organismu se radioaktivní uhlík rozkládá s poločasem rozpadu 5 700 let. Ve vzorku je ¹⁴C zastoupen ze 70% ve srovnání s atmosférou. Jak je vzorek starý?

Řešení

Cvičení 13. Slon se dožije průměrně 65 let. Jedna samice má mládě jednou za 4 roky, poměr samců a samic mezi novorozenými slůňaty je 1:1. Kolik zvířat je nutné každý rok odstřelit, aby na území, jehož úživnost je několik tisíc slonů žilo trvale 250 slonic a 50 slonů?

Řešení

samic a samců, tj. něco mezi 27 a 28 slonicemi a 30 a 31 slony každý rok.

V úlohách Cvičení 14.-25. najděte obecné řešení dané rovnice.

Cvičení 14.