Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datDiskrétní deterministické modely Přípravné úvahy Posloupnosti 2

Logo Matematická biologie

Posloupnosti 2

Tvrzení 2.21. Množina hromadných bodů libovolné posloupnosti má nejmenší a největší prvek.

Důkaz. V. Novák.  Diferenciální počet v R. Brno, MU, 1997. Věta 5.7., str. 131.

Definice 2.22. Nejmenší hromadný bod posloupnosti se nazývá limes inferior a označuje největší hromadný bod posloupnosti se nazývá limes superior a označuje

Z definice bezprostředně plyne

Posloupnost je ohraničená zdola právě tehdy, když

je ohraničená shora právě tehdy, když

je konvergentní právě tehdy když

nemá (vlastní ani nevlastní) limitu právě tehdy, když

Definice 2. 23. Nechť takové, že Součet členů posloupnosti od do definujeme vztahem


 
Součin členů posloupnosti od do definujeme pro vztahem

pokud a pro klademe

Tvrzení 2.24. Nechť Pak platí

pro všechna taková, že uvedené součty jsou definovány.

Pokud navíc pro pak

pro všechna taková, že uvedené součiny jsou definovány.

Důkaz.  Nechť Pak také a tedy

což je ekvivalentní s první rovností. Její platnost budeme v dalších částech důkazu využívat.

Platnost druhé rovnosti ověříme pro Je-li pak

  • je-li pak
  • je-li pak
  • je-li pak
  • je-li pak

V případech a ukážeme platnost druhé rovnosti analogicky.

Při ověřování třetí rovnosti rozlišíme čtyři případy:

  • je-li pak
  • je-li pak
  • je-li pak
  • je-li pak

Čtvrtou rovnost dokážeme úplnou indukcí:

pro platí

  • indukční krok „vpřed“:
  • indukční krok „vzad“:

Rovnosti pro součin ověříme stejně.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict