Úvod

V úvodu předchozí kapitoly jsme modelovali růst populace v omezeném prostředí. Dospěli jsme ke třem různým modelům Přípravné úvahy (14), Přípravné úvahy (16) a Přípravné úvahy (17). Hodnoty vyjadřují velikost populace v čase Všechny tři rovnice Přípravné úvahy (14), Přípravné úvahy (16), Přípravné úvahy (17) modelují, adekvátně do jisté míry, stejný proces. Ovšem jejich tvar je na první pohled dosti odlišný. Pokusíme se tuto „vadu na kráse“ odstranit.

Pravou stranu rovnice Přípravné úvahy (14) přepíšeme ve tvaru

a člen převedeme na levou stranu. Dostaneme

Na levé straně je diference posloupnosti rovnici proto můžeme přepsat ve tvaru

nebo stručně

(1)

Rovnici Přípravné úvahy (16) postupně upravíme.

S pomocí operátoru posunu můžeme tuto rovnici zapsat ve stručnějším tvaru

(2)

Rovnice Diferenční rovnice (1) a Diferenční rovnice (2) jsou „téměř stejné“, liší se pouze posunem posloupnosti na pravé straně; na levé straně mají relativní změnu velikosti populace.

Rovnici Přípravné úvahy (17) také upravíme:

takže pomocí operátoru diference dostaneme rovnici ve stručném tvaru

(3)

Výrazy na pravých stranách rovnic Diferenční rovnice (1) a Diferenční rovnice (3) se liší pouze ve faktorech  a Ovšem pro „nepříliš velká“ je podle Taylorovy věty

takže hodnota je první aproximací hodnoty Pravé strany rovnic Diferenční rovnice (1) a Diferenční rovnice (3) jsou opět „téměř stejné“. Na levé straně rovnice Diferenční rovnice (3) je absolutní změna velikosti populace vyjádřená na logaritmické stupnici.

Levou stranu rovnice Diferenční rovnice (3) také aproximujeme Taylorovým polynomem prvního stupně. Dostaneme

Vidíme, že také levou stranu rovnice Diferenční rovnice (1) lze považovat za první aproximaci levé strany rovnice Diferenční rovnice (3).

Poznamenejme ještě, že dvojice rovnic Přípravné úvahy (14) a Diferenční rovnice (1), Přípravné úvahy (16) a Diferenční rovnice (2), Přípravné úvahy (17) a Diferenční rovnice (3) nejsou ekvivalentní. Ty původní Přípravné úvahy (14), Přípravné úvahy (16) a Přípravné úvahy (17) připouštějí jako své řešení nulovou posloupnost, tvar upravených rovnic Diferenční rovnice (1), Diferenční rovnice (2) a Diferenční rovnice (3) nulové řešení nepřipouští.

Provedené manipulace s rovnicemi Přípravné úvahy (14), Přípravné úvahy (16) a Přípravné úvahy (17) ukazují hlubší souvislost těchto rovnic - modelů růstu populace s vnitrodruhovou konkurencí. Rovnice Přípravné úvahy (14) je mezním případem rovnice Přípravné úvahy (17), rovnice Přípravné úvahy (16) ve tvaru Diferenční rovnice (2) je drobnou modifikací rovnice Přípravné úvahy (14) zapsané ve tvaru Diferenční rovnice (1).

Parametr interpretujeme jako úživnost prostředí, tj. jako velikost populace, která je se svým životním prostředím v dynamické rovnováze. Poměr lze chápat jako míru porušení této rovnovážné velikosti, rozdíl jako vzdálenost od rovnováhy. Všechny tři rovnice  Diferenční rovnice (1), Diferenční rovnice (2) a Diferenční rovnice (3) lze nyní přečíst jednotným způsobem: Změna velikosti populace je úměrná její vzdálenosti od rovnovážného stavu.

Ještě si všimněme jedné zajímavosti. Model Diferenční rovnice (2), který má na pravé straně posunutou hledanou posloupnost, lze interpretovat tak, že současná změna stavu je způsobena stavem budoucím, tj. že populace anticipuje budoucnost. Ovšem ekvivalence rovnic Diferenční rovnice (2) a Přípravné úvahy (16) ukazuje, že ani přijetí rovnice Diferenční rovnice (2) za správný model růstu populace nás ještě nenutí opustit Laplaceův determinismus.

Ukázali jsme, že jeden model nějakého procesu lze zapisovat různými způsoby. Tyto rozmanité možnosti zápisu jednoho modelu mohou nabízet jeho různé intepretace. Vhodný zápis různých modelů může naopak ukázat nějakou obecnou nebo společnou vlastnost modelované reality.

Jedna společná vlastnost tří uvedených modelů růstu populace byla však vidět již z jejich vyjádření Přípravné úvahy (14), Přípravné úvahy (16) a Přípravné úvahy (17) - na pravé straně těchto rekurentních formulí se čas vyskytuje pouze jako index hledané posloupnosti To znamená, že model růstu populace je v každém časovém okamžiku stejný. Tuto skutečnost lze interpretovat tak, že změny okolního světa nemají žádný vliv na modelovaný růst populace v omezeném prostředí; jinak řečeno, populaci s jejím prostředím si představujeme jako izolovanou od okolního světa. Populaci a její prostředí považujeme za uzavřený systém, který se vyvíjí podle svých vlastních () zákonů (NOMOI). Proto rovnice Přípravné úvahy (14), Přípravné úvahy (16), Přípravné úvahy (17) a také Diferenční rovnice (1), Diferenční rovnice (2), Diferenční rovnice (3) nazýváme autonomní.

Obsahem této kapitoly budou nejprve různé způsoby zápisu rovnic, v nichž vystupuje neznámá posloupnost, její diference a/nebo posun. Tato diference nebo posun nemusí být nutně prvního řádu, jako v dosud uvedených příkladech. To umožní, mimo jiné, zformulovat alternativní model růstu populace, v němž je specifikován charakter vnitrodruhové konkurence.

Ve druhé sekci se nejprve podíváme na model růstu populace z jiného hlediska. Nebudeme se na populaci a její prostředí dívat jako na jeden uzavřený systém, ale populaci budeme chápat jako otevřený systém, na který působí okolní prostředí. Pokud i prostředí budeme považovat za systém, dojdeme k soustavě dvou rovnic. Dojdeme tak k soustavám (systémům¹) více rovnic a ukážeme, že takové systémy můžeme chápat jako rovnice pro posloupnosti, jejíž členy jsou tvořeny více složkami, tj. jejichž členy nejsou čísla ale vektory.

V poslední sekci této kapitoly uvedeme možné zobecnění zaváděných rovnic a budeme ho ilustrovat na další možnosti, jak modelovat růst populace s vnitrodruhovou konkurencí.

¹Slovo „systém“ obecně označuje nějaký výsek reality, který je tvořen nějakými prvky, mezi kterými existují nějaké vazby. Proto můžeme i několik provázaných rovnic nazývat stejným slovem. Nebo jinak: slovo „soustava“ je ekvivalentem řeckého