Fundamentální systém řešení homogenní rovnice

Lineární homogenní diferenční rovnice -tého řádu

	(23)

splňuje princip superpozice: jsou-li posloupnosti a řešení rovnice Lineární rovnice (23) a a jsou libovolné reálné konstanty, pak také posloupnost je řešením rovnice Lineární rovnice (23), tj. libovolná lineární kombinace řešení této rovnice je jejím řešením. Navíc nulová posloupnost je řešením rovnice Lineární rovnice (23). To znamená, že množina všech řešení lineární homogenní diferenční rovnice tvoří vektorový prostor.

Pro označme posloupnost, která je řešením homogenní rovnice Lineární rovnice (23) s počátečními podmínkami

Pak je zřejmé, že posloupnosti jsou lineárně nezávislé. To znamená, že dimenze vektorového prostoru řešení je alespoň

Nechť je libovolné řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (23). Označme

Lineární kombinace posloupností s koeficienty tj. posloupnost

(24)

je podle principu superpozice řešením rovnice Lineární rovnice (23) a splňuje stejné počáteční podmínky, jako posloupnost Z jednoznačnosti řešení počáteční úlohy plyne, že posloupnost a lineární kombinace Lineární rovnice (24) jsou shodné. Odtud dále plyne, že prostor řešení lineární homogenní rovnice Lineární rovnice (23) má dimenzi a posloupnosti tvoří bázi tohoto prostoru.

Z provedených úvah plyne, že platí

Věta 3.1. Množina všech řešení lineární homogenní difereneční rovnice -tého řádu Lineární rovnice (23) tvoří vektorový prostor dimenze

Definice 3.2. Báze vektorového prostoru všech řešení lineární homogenní rovnice Lineární rovnice (23) se nazývá fundamentální systém  řešení.

Posloupnosti tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní diferenční rovnice Lineární rovnice (23) právě tehdy, když libovolné řešení této rovnice lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci, tj. právě tehdy, když existují jednoznačně určené konstanty takové, že

(25)

pro libovolné z definičního oboru Předchozí rovnost je ekvivalentní s rovnostmi

(26)

a jednoznačná existence konstant je ekvivalentní s jednoznačnou řešitelností Lineární rovnice (26) chápané jako systém (algebraických) rovnic pro neznámé . Determinant této soustavy je Casoratián posloupností v indexu

Dostáváme tak závěr:

Věta 3.3.Posloupnosti tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní diferenční rovnice Lineární rovnice (23) právě tehdy, když každá z nich je řešením rovnice Lineární rovnice (23) a pro každé z definičního oboru platí

kde je Casoratián posloupností