Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty
Nechť je regresivní posloupnost a
posloupnost se stejným definičním oborem. Uvažujme počáteční úlohu pro lineární nehomogenní rovnici ve tvaru
|
|
(11) |
Řešení této úlohy budeme hledat ve tvaru
|
|
(12) |
Jedná se o analogii řešení daného formulí Lineární rovnice (11) s tím rozdílem, že místo konstanty uvažujeme nestacionární posloupnost
Aby byla splněna počáteční podmínka v úloze Lineární rovnice (11), musí platit
tedy
|
|
(13) |
Současně musí být splněna rovnice, tedy podle věty Přípravné úvahy 3.6 má být
|
|
|
|
Z této rovnosti vyjádříme Pro posloupnost
tedy podle věty Lineární rovnice 2.4.4 platí
Rovnají-li se dvě posloupnosti, musí se rovnat i jejich sumy od takže podle Přípravné úvahy (25) dostaneme
Z této rovnosti spolu s podmínkou Lineární rovnice (13) vyjádříme
Dosazením této posloupnosti do rovnosti Lineární rovnice (12) dostaneme s využitím věty Lineární rovnice 2.4 řešení úlohy Lineární rovnice (11),
|
|
|
|
Exponenciální posloupnost můžeme přepsat jako součin podle věty Lineární rovnice 2.4.1. Řešení počáteční úlohy pro nehomogenní lineární rovnici s regresivní posloupností v lineárním členu, tj. řešení úlohy Lineární rovnice (11) tedy můžeme psát v jednom z tvarů
Přímým výpočtem se přesvědčíme, že řešení počáteční úlohy pro obecnou lineární diferenční rovnici Lineární rovnice (6) s počáteční podmínkou je stejného tvaru. Jediný rozdíl je v tom, že definiční obor řešení může být menší než definiční obor posloupnosti
Věta 2.5. Nechť
a
Položme
Řešení počáteční úlohy pro lineární diferenční rovnici,
|
|
(14) |
je posloupnost definovaná vztahem
Podívejme se ještě na druhý sčítanec ve výrazu pro řešení úlohy Lineární rovnice (14), tedy na posloupnost danou předpisem
Platí a
|
|
|
|
|
|
To znamená, že posloupnost je řešením nehomogenní rovnice Lineární rovnice (6) s nulovou počáteční podmínkou. První sčítanec v řešení úlohy Lineární rovnice (14) je řešením přidružené homogenní rovnice Lineární rovnice (7). Dostáváme tak závěr:
Důsledek 2.6. Řešení počáteční úlohy pro lineární diferenční rovnici Lineární rovnice (14) je součtem řešení počátečního problému pro přidruženou homogenní rovnici Lineární rovnice (7) a řešení nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou.
Ještě explicitně vypíšeme tvar řešení lineární rovnice Lineární rovnice (6) v některých speciálních případech.
Důsledek 2.7. Řešení rovnice Lineární rovnice (6) v případech, kdy některá z posloupností
je stacionární:
Řešení:
Řešení:
Řešení:
