Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datDiskrétní deterministické modely Lineární rovnice Lineární rovnice prvního řádu Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty

Logo Matematická biologie

Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty

Nechť je regresivní posloupnost a posloupnost se stejným definičním oborem. Uvažujme počáteční úlohu pro lineární nehomogenní rovnici ve tvaru

(11)

Řešení této úlohy budeme hledat ve tvaru

(12)

Jedná se o analogii řešení daného formulí Lineární rovnice (11) s tím rozdílem, že místo konstanty uvažujeme nestacionární posloupnost

Aby byla splněna počáteční podmínka v úloze Lineární rovnice (11), musí platit

tedy

(13)

Současně musí být splněna rovnice, tedy podle věty Přípravné úvahy 3.6 má být

 

Z této rovnosti vyjádříme Pro posloupnost tedy podle věty Lineární rovnice 2.4.4 platí

Rovnají-li se dvě posloupnosti, musí se rovnat i jejich sumy od takže podle Přípravné úvahy (25) dostaneme

Z této rovnosti spolu s podmínkou Lineární rovnice (13) vyjádříme

Dosazením této posloupnosti do rovnosti Lineární rovnice (12) dostaneme s využitím věty Lineární rovnice 2.4 řešení úlohy Lineární rovnice (11),

Exponenciální posloupnost můžeme přepsat jako součin podle věty Lineární rovnice 2.4.1. Řešení počáteční úlohy pro nehomogenní lineární rovnici s regresivní posloupností v lineárním členu, tj. řešení úlohy Lineární rovnice (11) tedy můžeme psát v jednom z tvarů

 

Přímým výpočtem se přesvědčíme, že řešení počáteční úlohy pro obecnou lineární diferenční rovnici Lineární rovnice (6) s počáteční podmínkou je stejného tvaru. Jediný rozdíl je v tom, že definiční obor řešení může být menší než definiční obor posloupnosti

Věta 2.5. Nechť a Položme

Řešení počáteční úlohy pro lineární diferenční rovnici,

(14)

je posloupnost definovaná vztahem

 

Podívejme se ještě na druhý sčítanec ve výrazu pro řešení úlohy Lineární rovnice (14), tedy na posloupnost danou předpisem

Platí a

To znamená, že posloupnost je řešením nehomogenní rovnice Lineární rovnice (6) s nulovou počáteční podmínkou. První sčítanec v řešení úlohy Lineární rovnice (14) je řešením přidružené homogenní rovnice Lineární rovnice (7). Dostáváme tak závěr:

Důsledek 2.6. Řešení počáteční úlohy pro lineární diferenční rovnici Lineární rovnice (14) je součtem řešení počátečního problému pro přidruženou homogenní rovnici Lineární rovnice (7) a řešení nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou.

Ještě explicitně vypíšeme tvar řešení lineární rovnice Lineární rovnice (6) v některých speciálních případech.

Důsledek 2.7. Řešení rovnice Lineární rovnice (6) v případech, kdy některá z posloupností je stacionární:


  • Řešení:

  • Řešení:

  • Řešení:
 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict