Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datDiskrétní deterministické modely Autonomní rovnice Autonomní systémy

Logo Matematická biologie

Autonomní systémy

Autonomní systém diferenčních rovnic (rekurentních formulí) prvního řádu je systém, ve kterém se index posloupnosti nevyskytuje explicitně. Jako systém rekurentních formulí ho můžeme zapsat ve tvaru

(16)

O funkcích předpokládáme, že všechny mají stejný definiční obor který zobrazují do sebe, tj. Společný definiční obor  funkcí se nazývá stavový nebo fázový prostor. Při označení

můžeme systém Autonomní rovnice (16) zapsat ve vektorovém tvaru

(17)

nebo stručněji

Z tohoto vyjádření vidíme, že autonomní systém je bezprostředním zobecněním autonomní rovnice Autonomní rovnice (6). Formálně stejně jako tvrzení Autonomní rovnice 2.1 můžeme ukázat, že nezáleží na volbě počátečního času Počáteční podmínku pro systém Autonomní rovnice (16), resp. Autonomní rovnice (17), budeme uvažovat ve tvaru

(18)

resp.

(19)

Řešení úlohy Autonomní rovnice (17), Autonomní rovnice (19) je podobně jako v oddílu Autonomní rovnice prvního řádu dáno výrazy

Pro autonomní systémy zavádíme pojmy analogické, jako pro autonomní rovnice:

Definice 3.1. Množina bodů se nazývá (pozitivní) trajektorie bodu nebo orbita bodu (vzhledem k rovnici Autonomní rovnice (17)).

Definice 3.2. Řekneme, že bod je rovnovážný (stacionární) bod rovnice Autonomní rovnice (17), pokud je pevným bodem zobrazení tj. pokud platí

Trajektorie rovnovážného bodu je jednoprvková,

 

Definice 3.3. Řekneme, že rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (13) je dosažitelný z bodu pokud existuje kladné číslo takové, že a

Definice 3.4. Nechť je rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (17) a vektorová posloupnost je řešením úlohy Autonomní rovnice (18), Autonomní rovnice (19). Řekneme, že rovnovážný bod je

  • stabilní, pokud ke každému existuje tak, že z nerovnosti plyne nerovnost pro všechna

 

  • atrahující (přitažlivý), pokud existuje takové,  že z nerovnosti plyne rovnost je-li navíc řekneme, že je globálně atrahující;
     
  •  asymptoticky stabilní, pokud je stabilní a atrahující; je-li navíc globálně atrahující, řekneme, že rovnovážný bod je globálně asymptoticky stabilní;
     
  • nestabilní, pokud není stabilní;
  • repelentní (odpuzující), pokud existuje takové, že z nerovnosti plyne existence indexu posloupnosti takového, že pro všechny indexy

 

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict