E-learningová učebnice

Matematická biologie

Slovník | Vyhledávání | Mapa webu

Analýza a modelování dynamických biologických datDiskrétní deterministické modely Přípravné úvahy Diferenční a sumační počet Přehled vzorců pro diferenci a sumaci

Lineární a adaptivní zpracování dat | Lineární a adaptivní zpracování dat: řešené úlohy v MATLABu | Matematické modely v biologii | Maticové populační modely | Signály a lineární systémy | Spojité deterministické modely I | Diskrétní deterministické modely |

Používané symboly | Přípravné úvahy |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod | Posloupnosti | Posloupnosti 2 | Operátory na prostoru posloupností |

Operátor posunu | Diference | Sumace | Diference a posun vyššího řádu |

Diferenční a sumační počet |

Diference a sumy některých posloupností | Přehled vzorců pro diferenci a sumaci |

Úlohy k procvičení |

Diferenční rovnice |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod | Diferenční rovnice a počáteční úlohy | Systémy diferenčních rovnic | Operátorově-diferenční rovnice | Úlohy k procvičení |

Lineární rovnice |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod |

Model prvního řádu | Model druhého řádu |

Lineární rovnice prvního řádu |

Homogenní rovnice a exponenciální posloupnost | Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty | Kvalitativní vlastnosti řešení lineární rovnice ve zvláštních případech |

Lineární rovnice k-tého řádu |

Fundamentální systém řešení homogenní rovnice | Nehomogenní rovnice a metoda variace konstant | Homogenní rovnice s konstantními koeficienty |

Příklad: Rovnice druhého řádu. |

Rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou |

Systémy lineárních rovnic prvního řádu |

Homogenní systém a fundamentální matice | Nehomogenní systém a metoda variace konstant | Systém s konstantní maticí | Ekvivalence lineární rovnice k-tého řádu a systému lineárních rovnic prvního řádu |

Úlohy k procvičení |

Některé explicitně řešitelné rovnice |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod | Riccatiho a Bernoulliova rovnice | Homogenní rovnice |

Implicitní rovnice x(t+1)2+a(t)x(t+1)x(t)+b(t)x(t)2=0 |

Logaritmicky lineární rovnice | Rovnice řešitelné speciálními substitucemi |

Goniometrické a hyperbolické substituce |

Rovnice I | Rovnice II | Rovnice III |

Logistická rovnice |

Úlohy k procvičení |

Autonomní rovnice |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod | Autonomní rovnice prvního řádu |

Grafické řešení | Rovnovážné body a jejich stabilita | Cykly a atraktory | Autonomní rovnice závislé na parametru |

Autonomní systémy |

Stabilita lineárních systémů | Linearizace nelineárních systémů v okolí rovnovážného bodu | Invariantní množiny autonomních systémů |

Autonomní rovnice vyšších řádů |

Transformace Z a její užití |

Výstupy z výukové jednotky | Úvod | Transformace Z |

Konvoluce | Užití transformace Z pro řešení speciální lineární diferenční rovnice |

Volterrova diferenční rovnice konvolučního typu |

Aplikace |

Výstupy z výukové jednotky | Růst populace |

Fibonacciovi králíci a jejich modifikace | Süßmilchova populace a Leslieho matice | Malthusovské modely |

Dynamika dvou interagujících populací |

Model konkurence | Model dravec-kořist Johna Maynarda Smithe |

Populační genetika |

Gen se dvěma alelami | Analýza rovnice Aplikace (75) v autonomním případě | Replikátorová rovnice |

Problém extinkce |

Mizení rodové linie | Vývoj velikosti rodové linie |

Úvod do matematického modelování | Vybrané kapitoly z matematického modelování |

Přehled vzorců pro diferenci a sumaci

Tvrzení vět Přípravné úvahy 3.4, Přípravné úvahy 3.6, Přípravné úvahy 3.8, Přípravné úvahy 3.9 a relace Přípravné úvahy (19), Přípravné úvahy (24) můžeme shrnout:

Uvedené vzorce platí pro posloupnosti se stejným definičním oborem, jejich index a číslo

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity