Autonomní rovnice

Tato kapitola je věnována rovnicím a jejich soustavám, které jsou z hlediska modelování přírodních procesů snad nejdůležitější - autonomním rovnicím a jejich systémům. Při jejím studiu zejména:

1. Uvědomíte si důležitou vlastnost autonomních rovnic a jejich systémů - časovou invarianci, tj. skutečnost, že nezáleží na tom, v jakém čase začneme pozorovat přírodní proces nebo, ekvivalentně, jaký čas v modelu považujeme za počáteční.
2. Pro rovnice prvního řádu
   1. naučíte se hledat řešení graficky a tím získáte vhled do možného chování řešení,
   2. seznámíte se s pojmem rovnovážných (konstantních) řešení s rozmanitým pojetím jejich stability nebo nestability,
   3. budete umět rozhodnout o stabilitě rovnovážného řešení pomocí derivování pravé strany rovnice,
   4. uvidíte, jak lze pojem rovnováhy a stability zobecnit, seznámíte se s cykly a atraktory řešení.
3. Okusíte první náznak „vyšší kvalitativní analýzy nelineárních procesů“ - pojem bifurkace, tj. strukturální změny řešení při změně parametru rovnice.
4. Pro soustavy rovnic prvního řádu nebo rovnice vyššího řádu
   1. uvidíte, že pojmy rovnováhy a stability jsou bezprostředním zobecněním těchto pojmů zavedených pro rovnice,
   2. uvědomíte si, že soustava lineárních rovnic s konstantními koeficienty je speciálním případem autonomních systémů, a že tedy umíte vyšetřovat stabilitu jejích rovnovážných řešení,
   3. naučíte se vyšetřovat stabilitu rovnovážných řešení nelineárních systémů pomocí jejich linearizace, tj. nahrazením nelineárního systému systémem lineárním v okolí rovnováhy
   4. a totéž se naučíte pro rovnice vyššího řádu.
5. Získáte užitečné explicitní nerovnosti, které umožňují rozhodnout o stabilitě nebo nestabilitě rovnováhy v dvourozměrných systémech nebo v rovnicích druhého řádu.