Volterrova diferenční rovnice konvolučního typu
Volterrova diferenční rovnice konvolučního typu je diferenční rovnice tvaru
(8) |
kde a Neznámou posloupnost hledáme ve třídě kauzálních posloupností Pokud je posloupnost nulová, nazýváme rovnici homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Eulerova-Lotkova rovnice obnovy Transformace Z a její užití (4) nebo Transformace Z a její užití (5) je právě rovnicí tvaru Transformace Z a její užití (8) s parametrem
Homogenní Volterrovu diferenční rovnici konvolučního typu
(9) |
můžeme zapsat ve stručnějším tvaru
Přímým výpočtem se snadno přesvědčíme, že rovnice Transformace Z a její užití (9) splňuje princip superpozice, tj. lineární kombinace jejich řešení je také jejím řešením. Nulová posloupnost je také řešením rovnice Transformace Z a její užití (9). To znamená, že množina řešení rovnice Transformace Z a její užití (9) tvoří vektorový prostor.
Na obě strany rovnice Transformace Z a její užití (9) aplikujeme transformaci Ta je podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.3 lineární a podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.6 převádí konvoluci na součin. Transformovaná rovnice je tedy
S využitím tvrzení Transformace Z a její užití 2.3.2 dostaneme
Z této rovnosti vyjádříme obraz řešení rovnice Transformace Z a její užití (9)
(10) |
Vidíme, že řešení Volterrovy rovnice Transformace Z a její užití (9) závisí vedle parametru a posloupnosti pouze na počáteční hodnotě To znamená, že řešení konkrétní homogenní Volterrovy diferenční rovnice konvolučního typu tvoří jednorozměrný podprostor v prostoru kauzálních posloupností.
Příklad 3.1. Najdeme řešení rovnice
(11) |
V tomto případě je a Podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.4.1 je
Po dosazení do obecného vyjádření Transformace Z a její užití (10) dostaneme obraz řešení dané rovnice Transformace Z a její užití (11)
takže s využitím výsledků v tvrzení Transformace Z a její užití 2.4 můžeme psát
kde
Pro tak dostáváme řešení rovnice Transformace Z a její užití (11) ve tvaru
Snadno nahlédneme, že touto rovností je dáno řešení rovnice Transformace Z a její užití (11) i pro
Nehomogenní rovnici Transformace Z a její užití (8) můžeme opět zapsat stručně
Její transformací dostaneme rovnost
a z ní vyjádříme obraz řešení rovnice Transformace Z a její užití (8)