Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datDiskrétní deterministické modely Transformace Z a její užití Volterrova diferenční rovnice konvolučního typu

Logo Matematická biologie

Volterrova diferenční rovnice konvolučního typu

Volterrova diferenční rovnice konvolučního typu je diferenční rovnice tvaru

(8)

kde a Neznámou posloupnost hledáme ve třídě kauzálních posloupností Pokud je posloupnost nulová, nazýváme rovnici homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Eulerova-Lotkova rovnice obnovy Transformace Z a její užití  (4) nebo Transformace Z a její užití  (5) je právě rovnicí tvaru Transformace Z a její užití  (8) s parametrem

Homogenní Volterrovu diferenční rovnici konvolučního typu

(9)

můžeme zapsat ve stručnějším tvaru

Přímým výpočtem se snadno přesvědčíme, že rovnice Transformace Z a její užití (9) splňuje princip superpozice, tj. lineární kombinace jejich řešení je také jejím řešením. Nulová posloupnost je také řešením rovnice Transformace Z a její užití (9). To znamená, že množina řešení rovnice Transformace Z a její užití  (9) tvoří vektorový prostor.

Na obě strany rovnice Transformace Z a její užití (9) aplikujeme transformaci Ta je podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.3 lineární a podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.6 převádí konvoluci na součin. Transformovaná rovnice je tedy

S využitím tvrzení Transformace Z a její užití 2.3.2 dostaneme

Z této rovnosti vyjádříme obraz řešení rovnice Transformace Z a její užití (9)

(10)

Vidíme, že řešení Volterrovy rovnice Transformace Z a její užití (9) závisí vedle parametru a posloupnosti pouze na počáteční hodnotě To znamená, že řešení konkrétní homogenní Volterrovy diferenční rovnice konvolučního typu tvoří jednorozměrný podprostor v prostoru kauzálních posloupností.

Příklad 3.1. Najdeme řešení rovnice

(11)

V tomto případě je a Podle tvrzení Transformace Z a její užití 2.4.1 je

Po dosazení do obecného vyjádření Transformace Z a její užití (10) dostaneme obraz řešení dané rovnice Transformace Z a její užití (11)

takže s využitím výsledků v tvrzení Transformace Z a její užití 2.4 můžeme psát

kde

Pro tak dostáváme řešení rovnice Transformace Z a její užití (11) ve tvaru

Snadno nahlédneme, že touto rovností je dáno řešení rovnice Transformace Z a její užití (11) i pro

Nehomogenní rovnici Transformace Z a její užití (8) můžeme opět zapsat stručně

Její transformací dostaneme rovnost

a z ní vyjádříme obraz řešení rovnice Transformace Z a její užití (8)

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict