Definice 2.1. Nechť je funkce proměnných, která je nekonstantní v -hé proměnné nebo ve druhé a v -hé proměnné¹ Diferenční rovnice -tého řádu je rovnice tvaru

Pokud je funkce konstantní v první proměnné, nazývá se rovnice autonomní.

Speciální případy diferenčních rovnic:

Diferenční rovnice -tého řádu prvního typu nerozřešená vzhledem k nejvyšší diferenci (implicitní diferenční rovnice -tého řádu) je rovnice tvaru

(4)

kde je reálná funkce proměnných, která není konstantní v poslední proměnné.

Diferenční rovnice -tého řádu prvního typu rozřešená vzhledem k nejvyšší diferenci (explicitní diferenční rovnice -tého řádu) je rovnice tvaru

(5)

kde je reálná funkce proměnných.

Diferenční rovnice -tého řádu druhého typu je rovnice tvaru

(6)

kde je reálná funkce proměnných, která není konstantní ve druhé a v poslední proměnné.

Rekurentní formule -tého řádu je rovnice tvaru

(7)

kde je reálná funkce proměnných, která není konstantní ve druhé proměnné.

Poznámka 2.2. S pomocí operátoru posunu můžeme diferenční rovnici -tého řádu, resp, diferenční rovnici -tého řádu druhého typu ekvivalentně zapsat ve tvaru

Každou diferenční rovnici lze převést na diferenční rovnici prvního nebo druhého typu.

Každou implicitní diferenční rovnici prvního typu lze převést na diferenční rovnici druhého typu stejného řádu a naopak.

Každou explicitní diferenční rovnici prvního typu lze převést na rekurentní formuli stejného řádu a naopak.

Vzhledem k tvrzení Přípravné úvahy 3.10 v Kapitole Přípravné úvahy totiž můžeme položit

Definice 2.3. Nechť a jsou taková čísla, že

Rovnosti

(8)

nazveme počáteční podmínky pro rekurentní formuli Diferenční rovnice (7).

Pokud ekvivalentně předpokládáme, že

nazýváme rovnosti Diferenční rovnice (8) počáteční podmínky pro diferenční rovnici Diferenční rovnice (5). Rovnici Diferenční rovnice (5) s počátečními podmínkami Diferenční rovnice (8) nazýváme počáteční úloha (problém) pro diferenční rovnici Diferenční rovnice (5).

Definice 2.4. Libovolná posloupnost taková, že pro každý index splňuje některou z rovností Diferenční rovnice (4), Diferenční rovnice (5), Diferenční rovnice (6), Diferenční rovnice (7) se nazývá partikulární řešení příslušné diferenční rovnice.

Množina všech posloupností, které jsou partikulárním řešením některé diferenční rovnice Diferenční rovnice (4), Diferenční rovnice (5), Diferenční rovnice (6) nebo Diferenční rovnice (7), se nazývá obecné řešení příslušné diferenční rovnice.

Partikulární řešení, které splňuje počáteční podmínku Diferenční rovnice (8) se nazývá řešení počáteční úlohy.

Pokud lze obecné řešení zapsat ve tvaru budeme také o posloupnosti závislé na (vektorovém) parametru (na -tici konstant) mluvit jako o obecném řešení příslušné rovnice.

Příklad 2.5. Uvažujme rekurentní formuli pro geometrickou posloupnost s kvocientem 2, tj.

s počáteční podmínkou Tuto formuli můžeme ekvivalentně zapsat jako explicitní nebo implicitní diferenční rovnici prvního typu

nebo jako diferenční rovnici druhého typu

Libovolná posloupnost definovaná vztahem kde je nějaké reálné číslo, je partikulárním řešením rovnice.

Množina je obecným řešením rovnice. Obecné řešení lze také zapsat stručně (a méně přesně) jako

Posloupnost definovaná vztahem je řešením počáteční úlohy.

Příklad 2.6. Logistická rovnice se zpožděním

Logistickou rovnici Přípravné úvahy (14) vývoje velikosti populace jsme odvodili z předpokladu, že populace svou velikostí, tj. silou vnitrodruhové konkurence, bezprostředně zmenšuje svůj růstový koeficient, zmenšuje porodnost nebo zvětšuje úmrtnost. Vliv velikosti populace na její růst však nemusí být bezprostřední, může k němu docházet s jistým zpožděním.

Uvažujme např. populaci, v níž v jednom období dospělí jedinci produkují nějaká nedospělá stadia (např. plazi kladou vejce) a spotřebovávají zdroje prostředí. Úživnost prostředí nemá na nedospělé jedince (nakladená vejce) žádný vliv. Teprve až nedospělci dospějí (z vajec se vylíhnou noví jedinci), závisí jejich přežívání a/nebo plodnost na množství potravy, které jejich prostředí poskytuje. To znamená, že růstový koeficient závisí na velikosti populace v předchozí generaci. Tyto úvahy vedou k tomu, že výraz

z rovnice Přípravné úvahy (14) nahradíme výrazem

a dostaneme rovnici

Budeme-li místo indexu psát dostaneme diferenční rovnici druhého řádu ve tvaru

(9)

Abychom mohli z této rekurentní formule počítat hodnoty posloupnosti (velikost populace v jednotlivých časových okamžicích), musíme znát její hodnoty ve dvou po sobě následujících indexech. Potřebujeme tedy počáteční podmínky

(10)

Z počátečních podmínek můžeme vypočítat hodnoty velikosti populace v libovolném čase Takové simulace můžeme udělat pro různé hodnoty parametrů a Pak uvidíme, že pro malou hodnotu se velikost populace ustálí na hodnotě kapacity prostředí. Později budeme umět ukázat, že posloupnost konverguje k hodnotě monotonně pro s tlumenými oscilacemi pro Pro větší hodnoty růstového koeficientu budou hodnoty kolísat kolem hodnoty Rovnice Diferenční rovnice (9) tedy podobně jako rovnice Přípravné úvahy (14) může modelovat růst populace -stratégů i -stratégů.

Pokud by však počáteční hodnoty a byly takové, že

pak by model Diferenční rovnice (9) růstu populace má stejný nedostatek, jako logistická rovnice Přípravné úvahy (14). V případě rovnice se zpožděním je situace ještě horší - v důsledku kolísání velikosti pro velké hodnoty růstového koeficientu může dojít k tomu, že

a simulovaná velikost populace klesne do záporných hodnot.

Animace 4 - logisticka rovnice se zpozdenim

Obr. 1. Řešení logistické rovnice se zpožděním x(t+2)=x(t+1)(r-(r-1)x(t)) spočátečními podmínkami x(0)=0, x(1)=0,01 pro různé hodnoty parametru r.

Na obr. Diferenční rovnice 1 jsou zobrazeny výsledky simulací pro hodnoty v rozpětí od 1,2 do 1,32 a počáteční hodnoty