Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datDiskrétní deterministické modely Aplikace Dynamika dvou interagujících populací Model dravec-kořist Johna Maynarda Smithe

Logo Matematická biologie

Model dravec-kořist Johna Maynarda Smithe

Uvažujme společenstvo typu dravec-kořist. Budeme předpokládat, že velikost samotné populace kořisti se vyvíjí podle logistického modelu Přípravné úvahy (14) s vnitřním koeficientem růstu  a kapacitou prostředí O velikosti populace dravců budeme předpokládat, že se vyvíjí podle Malthusovského modelu Přípravné úvahy (7) s růstovým koeficientem, který je přímo úměrný velikosti populace kořisti (čím více je kořisti, tím rychleji populace dravce roste). Pokud dravci nemají k dispozici žádnou kořist, bezprostředně vymírají (za časový interval jednotkové délky vymizí). Je-li populace kořisti v dynamické rovnováze se svým prostředím, tj. má velikost rovnu jeho kapacitě pak v tomto prostředí může populace dravce přežívat; jinak řečeno, dravci jsou schopni invadovat do prostředí obsazeného stabilizovanou populací kořisti. Nakonec budeme předpokládat, že za jednotku času je jeden dravec schopen zlikvidovat množství kořisti úměrné její velikosti, tj. dravci loví kořist s konstantní intenzitou.

Označíme-li nyní resp. velikost populace kořisti, resp. dravce, v čase dostaneme model vývoje společenstva ve tvaru dvou diferenčních rovnic

(67)

Přitom vyjadřuje intenzitu predace, označuje konstantu úměrnosti mezi růstovým koeficientem dravce a velikostí kořisti. Předpoklad, že populace dravce je schopná růstu v prostředí s rovnovážnou velikostí populace kořisti, zapíšeme nerovností

Abychom formálně zjednodušili analýzu systému Aplikace (67), zavedeme bezrozměrné stavové veličiny

a bezrozměrný parametr Touto transformací získáme autonomní dvourozměrný systém

(68)

Přitom pro parametry platí

Systém Aplikace (58) je systémem tvaru Aplikace (47) s růstovými koeficienty

Jejich parciální derivace podle jednotlivých proměnných jsou

hodnoty těchto derivací nezávisí na hodnotách nezávisle proměnných.

V rovnovážném bodu platí

To podle Aplikace (49) znamená, že tento rovnovážný bod je nestabilní.

Poněvadž pro jakoukoliv hodnotu nemá systém Aplikace (68) hranový rovnovážný bod tvaru Pro první souřadnici hranového rovnovážného bodu  platí

tj. V tomto bodu platí což podle Aplikace (53) znamená, že hranový rovnovážný bod je nestabilní.

Souřadnice vnitřního rovnovážného bodu splňují soustavu (algebraických) rovnic

takže

Dostatečná podmínka Aplikace (57) stability tohoto rovnovážného bodu je nyní tvaru

První z těchto nerovností je splněna, neboť Druhá je splněna pro a třetí pro

Konvergence řešení k vnitřnímu rovnovážnému bodu je podle Aplikace (58) monotonní, pokud

Tyto nerovnosti můžeme upravit na tvar

Celkem dostáváme výsledek: Nechť Pak existuje vnitřní rovnovážný bod

systému Aplikace (68). Je-li navíc

pak je tento rovnovážný bod asymptoticky stabilní; pokud přitom pak řešení konvergující k rovnovážnému bodu jsou od jistého indexu monotonní. Je-li

pak tento rovnovážný bod nestabilní.

 

Vrátíme se k původnímu modelu Aplikace (67). Jestliže parametry růstu a interakcí populací dravce a kořisti modelovaných systémem Aplikace (67) splňují nerovnosti

pak je možná koexistence těchto populací. Pokud přitom

je tato koexistence stabilní, velikosti populací se ustálí na hodnotách

Pokud ovšem koexistence není stabilní, tak z toho ještě neplyne, že by některá z populací musela vymřít.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict