Systém s konstantní maticí

Uvažujme homogenní lineární systém s konstantní maticí tj. systém tvaru

(64)

Je-li matice regulární, pak má tato rovnice pro libovolnou počáteční hodnotu podle věty Lineární rovnice 4.2 jediné řešení definované na celé množině Toto řešení je tvaru

(65)

Vskutku, Odtud plyne, že fundamentální matice systému Lineární rovnice (64) je

Abychom získali nějaký použitelnější tvar řešení systému Lineární rovnice (64), potřebujeme vyjádřit mocniny matice

Matici vyjádříme ve tvaru

kde je regulární čtvercová matice dimenze a je Jordanův kanonický tvar matice, tj. je blokově diagonální matice

blok je čtvercová matice dimenze ; přitom Jednotlivé bloky jsou tvaru

kde je vlastní číslo matice Je-li blok diagonální, tj. je prvního z uvedených tvarů, řekneme, že vlastní číslo je jednoduchého typu.

Pro libovolné přirozené číslo platí

Je-li blok diagonální, pak

má-li blok nad diagonálou jedničky, pak

Pro libovolné je

Odtud a z Lineární rovnice (65) plyne, že řešení rovnice Lineární rovnice (64) je

(66)

Složky matice jsou přitom vlastní čísla matice v nejvýše -té mocnině, případně vynásobená nějakým polynomem v proměnné Odtud můžeme (mimo jiné) odvodit závěr:

Tvrzení 4.11. Mají-li všechna vlastní čísla regulární matice modul (absolutní hodnotu) menší než 1, pak pro každé řešení systému Lineární rovnice (64) platí

Příklad 1.12. Uvažujme systém rovnic (vektorovou rovnici)

s počátečním indexem V tomto případě je

Daný systém má tedy řešení

přitom   a  označují souřadnice počátečního vektoru

Nehomogenní lineární systém s konstantní regulární maticí

(67)

má podle věty Lineární rovnice 4.9  jediné řešení dané formulí

Zejména v případě konstantní nehomogenity má systém

(68)

řešení tvaru

Pokud všechna vlastní čísla matice mají modul menší než 1, pak což znamená, že pro řešení systému Lineární rovnice (68) v takovém případě platí

(69)

chování řešení systému Lineární rovnice (68) pro (po uplynutí dlouhého času) nezávisí na počátečních podmínkách, vliv počátečního stavu postupně vymizí, systém „zapomene“ svůj výchozí stav. Systém s touto vlastností se nazývá ergodický.

Pokud matice nemá vlastní čísla rovna jedné, pak lineární systém Lineární rovnice (68) s konstantní nehomogenitou má jediné konstantní řešení Toto řešení je současně řešením soustavy algebraických rovnic tedy

Porovnáním s rovností Lineární rovnice (69) vidíme, že řešení ergodického systému Lineární rovnice (68) konvergují pro ke konstantnímu řešení tohoto systému.