Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datVícerozměrné metody pro analýzu a klasifikaci dat Volba a výběr popisných proměnných Selekce proměnných Poměr rozptylů

Logo Matematická biologie

Poměr rozptylů

Jak bylo dříve uvedeno, pro klasifikaci jsou výhodnější ty proměnné, pro které je menší rozptyl obrazů uvnitř klasifikačních tříd a současně co největší vzdálenost (rozptyl) mezi třídami. To znamená, že se lze při selekci proměnných řídit hodnotami poměru rozptylu mezi třídami vzhledem k rozptylu uvnitř tříd. Čím větší bude tento poměr, tím méně pravděpodobná bude chyba klasifikace, a tím také bude lépe proveden výběr proměnných.

Ke stanovení zmíněného poměru je třeba charakterizovat oba použité rozptyly. Rozptyl uvnitř R tříd lze obecně charakterizovat disperzní maticí (v případě řádkových vektorů)

(1)

kde

(2)

Příklad 1

Předpokládejme tři množiny (klasifikační třídy) obsahující vektory:

množina :  = (3, 0, 0),  = (3, 1, 0), = (3, -1, 0);

množina :  = (0, 1, 0),  = (0, 3, 0);

množina :  = (0, -1, 2), = (0, 0, 2),  = (0, 1, 2).

Dále, nechť jsou vektory ve svých množinách zastoupeny rovnoměrně, tj. ,  a apriorní pravděpodobnosti jednotlivých množin nechť jsou , a . Určete disperzní matici podle vztahů (1) a (2).

Řešení:

Střední vektory jsou podle vztahu (2)  = (3, 0, 0),  = (0, 2, 0) a  = (0, 0, 2). Protože se jedná o diskrétní případ, přechází vztah (1) z integrálního na sumační

Za těchto podmínek jsou dílčí disperzní matice pro jednotlivé množiny

Pro určení výsledné disperzní matice sečteme tři dílčí matice

                                                                                                                                               †

Rozptyl mezi třídami může být definován např. vztahem

,

(3)

kde .

 

Příklad 2

Pro zadání z příkladu 1 určete podle vztahu (3) matici popisující rozptyl mezi třídami.

Řešení:

Střední vektory jsou podle vztahu (2)  = (3, 0, 0),  = (0, 2, 0) a  = (0, 0, 2) a jejich rozdíly

Výsledná matice pak je

                                                                                                                                             †

Pokud

(4)

můžeme také psát

(5)

Jestliže je disperzní matice regulární, tj. jestliže má inverzní matici, pak lze vyjádřit vlastnosti výskytu vektorů v prostoru při zvolené kombinaci hodnot proměnných, např. vztahem

(6)

Další možné používané způsoby popisu rozptylových vlastností vektorů jednoduchým parametrem jsou

(7)

.

(8)

Příklad 3

Pro zadání z příkladu 1 vyberte vhodný z kriteriálních vztahů (6) až (8) a vypočítejte jeho hodnotu.

Řešení:

Matice není regulární – její hodnost je menší než počet řádků, resp. její determinant je nulový. Proto lze použít pouze vztah (7).

Stopa matice je rovna součtu prvků hlavní diagonály, tj.  = 1/3 = 0,33 a stopa matice je  = 3,73. Z toho  = 1,243.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict