Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datVícerozměrné metody pro analýzu a klasifikaci dat Ordinační analýzy Analýza hlavních komponent (PCA) Příklady

Logo Matematická biologie

Příklad 4

Bylo provedeno měření výšky  (v cm) a váhy  (v kg) u pěti dětí. Naměřené hodnoty byly zaznamenány do matice :

U tohoto datového souboru proveďte analýzu hlavních komponent.

 

Řešení:
U analýzy hlavních komponent potřebujeme nejprve spočítat kovarianční matici . Pro výpočet kovarianční matice potřebujeme znát průměrnou výšku a váhu u   dětí:

Jednotlivé prvky kovarianční matice poté spočítáme následujícím způsobem:

Rozptyl výšky:

Rozptyl váhy:

Kovariance výšky a váhy:

Kovarianční matice je tedy:
.

 

Nyní spočítáme vlastní čísla a vlastní vektory kovarianční matice – tzn., spočítáme následující determinant:

Vypočteme charakteristický polynom:

A jeho kořeny, které odpovídají vlastním číslům:

 

 

 

Následně spočítáme vlastní vektor  odpovídající prvnímu vlastnímu číslu :

 ; např. pro  pak dostáváme: , který je po normalizaci roven . Kontrola, že vektor má jednotkovou délku: .

 

Spočítáme vlastní vektor  odpovídající druhému vlastnímu číslu :

 

; ; např. pro  pak dostáváme: , který je po normalizaci roven . Kontrola, že vektor má jednotkovou délku: .

 

Vlastní vektory můžeme uspořádat do matice , přičemž pořadí vlastních vektorů odpovídá pořadí vlastních čísel seřazených od největšího k nejmenšímu.

Nyní vyjádříme hlavní komponenty odpovídající vlastním číslům seřazeným od největšího k nejmenšímu – hlavní komponenty jsou lineární kombinace původních proměnných, přičemž koeficienty jsou souřadnice příslušného vlastního vektoru:

  1. hlavní komponenta:  (pro )
  2. hlavní komponenta:  (pro )

Výpočet procent vyčerpané variability:

  1. hlavní komponenta vyčerpává:  (tzn., 92,93% variability v datech)
  2. hlavní komponenta vyčerpává:  (tzn., 7,07% variability v datech)

Vyčerpanou variabilitu můžeme znázornit i pomocí sutinového grafu:

Dále spočítáme korelace hlavních komponent s původními proměnnými:

 

 

 

 

První hlavní je vysoce korelována s váhou a středně korelována s výškou. Druhá hlavní komponenta je středně záporně korelována s výškou.

Na závěr vypočítáme nové souřadnice původních bodů po transformaci pomocí obou hlavních komponent spočítaných pomocí PCA:

Souřadnice subjektů můžeme přímo získat i z hlavních komponent – např. pro první subjekt:

 

Původní data i data po transformaci pomocí PCA si znázorníme:

Pokud bychom k transformaci použili pouze první vlastní vektor, získáváme data v prostoru první hlavní komponenty:

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict