Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datVícerozměrné metody pro analýzu a klasifikaci dat Príloha A - Základy maticové algebry Matice Operace s maticemi

Logo Matematická biologie

Operace s maticemi

Vysvětlení pojmu Matice.10

Součinem matice A s číslem k nazýváme matici kA, jejíž prvky jsou dány prvky matice A vynásobené číslem k, tj.

.
(2)

Příklad Matice.11

Vynásobte symetrickou matici  pěti.

Řešení:

.

Vysvětlení pojmu Matice.11

Součtem B matic B téhož rozměru (n,m) je matice rovněž rozměru (n,m), jejíž prvky jsou dány součtem odpovídajících si prvků, tj.

(3)

Příklad Matice.12

Sečtěte matice  a .

Řešení:

Obě matice jsou téhož rozměru, proto je můžeme sečíst.

.

Pro násobení matice číslem a sčítání matic téhož rozměru (typu) platí:

  1. A + (B + C) = (A + B) + C;
  2. A + B = B + A;
  3. A + 0 = A, kde 0 je nulová matice;
  4. Pro matice A a B existuje právě jedna matice C taková, že A + C = B. Matici C určíme podle vztahu C = B + (-1).A = BA.
  5. k.(A + B) = k.A + k.B; (k + m).A = k.A + m.A.

 

Vysvětlení pojmu Matice.12

Součinem AB matice  rozměru (n,p) a matice rozměru (p,m) je matice , pro jejíž prvky platí

,
(4)
kde i = 1,2,…, n; j = 1,2,…, m.

To znamená, že řádky matice A násobíme sloupci matice B. Matice A tedy musí mít právě tolik sloupců, jako matice B řádků.

Příklad Matice.13

Vynásobte matice  a .

Řešení:

Protože matice A má rozměr (2,3) a matice B rozměr (3,2), bude mít matice AB rozměr (2,2). Pro její prvky je:

c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = 1.1 + 0.0 + 2.2 = 5

c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 =0.1 + (-1).0 + 1.2 = 2

c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1.0 + 0.(-1) + 2.1 = 2

c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 0.0 + (-1).(-1) + 1.1 = 2

To znamená, že .

Protože matice B = AT, je výsledná matice C symetrická.                                                    

  

Příklad Matice.14

Dokažte, že součin matice a matice k ní transponované je matice symetrická.

Skryté řešení:


Ve vytvořené součinové matici je aij = aji pro všechna i ≠ j, což je definiční vlastnost symetrické matice.

 

Pro násobení matic A, B, C platí:

  1. (AB)C = A(BC);
  2. (A + B)C = AC + BC; A(B + C) = AB + AC
  3. ABBA – o součinu AB hovoříme, že matici A násobíme maticí B zprava a naopak, matici B násobíme maticí A zleva; existuje-li součin matic A a B, nemusí existovat součin matic B a A;
  4. AI = IA =A;
  5. druhá mocnina matice A, tedy AA nebo A2 existuje jen, když je matice A čtvercová;
  6. (AB)T = BTAT a obecně (ABCD…) = … DTCTBTAT.

 

Příklad Matice.15

Dokažte, že A + 0 = A.

Skryté řešení:

 

Příklad Matice.16

Dokažte, platí obecně AI = IA =A.

Skryté řešení:

Ekvivalentně lze postupovat pro důkaz IA =A.
 
 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict