Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a hodnocení biologických datVícerozměrné metody pro analýzu a klasifikaci dat Príloha A - Základy maticové algebry Matice Specifické parametry matic

Logo Matematická biologie

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice

Pojem vlastních čísel a vlastních vektorů matice  vychází z její transformace na ekvivalentní diagonální matici , kde λ1, λ2, … λn jsou vlastní čísla matice A. Matice vlastních čísel je ekvivalentní s maticí A, pokud je možné matici A převést na matici pomocí elementárních operací popsaných v předchozí kapitole.

Vlastní čísla matice A spolu s jim odpovídajícími vlastními vektory se prakticky získávají řešením rovnice

(13)

 

 

kde uj je sloupcový vlastní vektor. Rovnici (13) lze přepsat do tvaru

(14)

 

 

a dále po vytknutí uj

(15)

 

 

kde I je jednotková matice. Kromě triviálního řešení, kdy je vektor uj nulový, má charakteristická rovnice řešení dané vztahem

(16)

 

Tj. determinant rozdílu matic A a λj I musí být roven nule pro každé vlastní číslo λj. Tuto rovnici nazýváme charakteristickou rovnicí.

Pro matici A řádu n obsahuje charakteristická rovnice polynom n-tého stupně proměnné λ. Jejím řešením jsou hodnoty vlastních čísel. Pro známá vlastní čísla pak řešením soustavy rovnic (15) určíme ke každému známému vlastnímu číslu příslušný vlastní vektor.

Příklad Matice.22:

Určete vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory matice

Řešení:

Charakteristická rovnice má tvar

, tj. .

Rozvojem determinantu máme (2 – λ)(5 - λ) – 4 = 0, a tedy λ2 - 7λ + 6 =0. Tato kvadratická rovnice má dvě řešení λ1 = 6 a λ2 = 1.

Z rovnice (15) pro každé vlastní číslo λ určíme vlastní vektory:

pro λ1 = 6 je

pro λ2 = 1

a to odpovídá soustavám dvou lineárních rovnic

Jak lze vidět z obou matic soustavy, resp. z obou rovnic, řádky v obou maticích soustav jsou lineárně závislé, proto mají obě soustavy rovnic nekonečné množství řešení. Vlastní vektory jsou všechny vektory z rovnic vyplývajících směrů. Abychom vybrali vždy jedno konkrétní řešení, zvolíme hodnotu jedné souřadnice vlastního vektoru a dopočítáme druhou.

Zvolme u11 = 1

a pak např. z druhé rovnice je

u21 = 2;

zvolme rovněž u22 = 1

a pak např. z první rovnice je

u12 = -2.

Vlastní vektory zadané matice tedy mohou být:

pro λ1 = 6 je  a pro λ2 = 1 je . Protože jsme museli při určování vlastních vektorů vyřešit dříve zmíněnou neurčitost, jakékoliv vektory daného směru splňují podmínky na řešení obou soustav lineárních rovnic. Bývá často zvykem vlastní vektory normalizovat, aby jejich délka byla jednotková. Podle vztahu (Vektory 3) je pro normalizované vlastní vektory  a .

Protože zadaná matice A byla symetrická, jsou její vlastní vektory ortogonální, tj. jsou na sebe kolmé (Obr. 6). Podle kapitoly o vektorech platí pro dva kolmé vektory, že jejich skalární součin je roven nule.

Tedy ověřme: u1.u2 = 1.(-2) + 2.1 = 0.                                                                                  

  

 

 

Obr. 6 Vlastní vektory symetrické matice jsou ortogonální.
 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict