Příklad
Bylo provedeno měření objemu hipokampu a mozkových komor (v cm3) u 3 pacientů se schizofrenií ( ) a 3 kontrolních subjektů ( ) (označení D – diseased, H – healthy). Naměřené hodnoty objemu hipokampu a mozkových komor u pacientů ( resp. ) a kontrol ( resp. ) byly zaznamenány do matic resp. :
Určete, zda testovací subjekt patří do skupiny pacientů či kontrolních subjektů pomocí Fisherovy lineární diskriminace.
Řešení
Pro výpočet váhového vektoru , který udává směr nadroviny, do níž budeme promítat a jež je kolmá na hranici oddělující obě skupiny, budeme potřebovat spočítat centroidy (vícerozměrné průměry) pro třídu pacientů ( ) a kontrol ( ) a rovněž sumu čtverců variability mezi skupinami ( ) včetně její inverze. Pro výpočet matice využijeme výběrové kovarianční matice pro třídu pacientů ( ) a kontrol ( ). Centroidy a kovarianční matice jsou následující: , , a (detailní výpočet centroidů a výběrových kovariančních matic je uveden v řešení příkladu v podkapitole Klasifikace pomocí diskriminačních funkcí). Suma čtverců variability mezi skupinami bude tedy spočítána jako a její inverze jako .
Váhový vektor poté tedy můžeme spočítat následujícím způsobem:
Protože nás nezajímá modul váhového vektoru, ale jen jeho směr, můžeme váhový vektor přeškálovat na: . Nyní můžeme vypočítat průměty centroidů do 1-D prostoru:
A následně vypočteme průmět hraničního bodu do 1-D prostoru :
Hraniční bod lze vypočítat i takto:
(protože jsme váhový vektor přeškálovali pomocí vynásobení šesti, musíme vynásobit šesti i a pak získáváme 13,5).
Pokud chceme zařadit nový subjekt do jedné z daných tříd, musíme nejprve vypočítat jeho průmět do 1-D prostoru:
Průmět následně srovnáme s hraničním bodem: protože , subjekt zařadíme do skupiny pacientů (pacienti leží napravo od hraničního bodu, protože centroid pacientů má větší hodnotu než hraniční bod).
Po výpočtu váhového vektoru a hraničního bodu můžeme určit obecnou rovnici hranice (normálou hraniční přímky je váhový vektor ):
Pro vykreslení hranice je vhodné vyjádřit hranici ve tvaru :
Nová osa, do níž se promítá, má směr odpovídající váhovému vektoru (je kolmá k hranici) a prochází počátkem a lze ji tedy vyjádřit obecnou rovnicí jako:
Pokud nás zajímají souřadnice hraničního bodu v původním prostoru, využijeme znalosti, že hraniční bod je průsečík hranice a nové osy:
--------------------------------------
Souřadnici pak vypočítáme z první rovnice jako :
Souřadnice hraničního bodu v původním prostoru jsou tedy :
Ověření, že po projekci hraničního bodu dostanu hodnotu 13,5:
Klasifikaci pomocí Fisherovy lineární diskriminační analýzy si na závěr znázorníme pomocí Obr. 6.
Poznámka: Pokud bychom váhový vektor znormovali, hraniční bod by přímo ležel ve vzdálenosti od počátku:
(tzn. hraniční bod leží ve vzdálenosti 6,04 od počátku v původních souřadnicích).