Analýza a modelování dynamických biologických datVybrané kapitoly z matematického modelování Procesy větvení Úlohy k procvičení

Zákon malých čísel |

Poissonův proces |

Statistické metody pro Poissonův proces |

Zobecnění Poissonova procesu |

Procesy obnovy |

Procesy vzniku a zániku |

Procesy větvení |

Náhodná procházka |

Úlohy k procvičení

Uvažujme stochasticky nezávislé náhodné veličiny , které mají alternativní rozdělení pravděpodobnosti s pravděpodobností úspěchu . Dále nechť je náhodná veličina s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti se střední hodnotou , nezávislá na náhodných veličinách { }. Odvoďte rozdělení pravděpodobnosti náhodného součtu .

Řešení

Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny pro je dle (9) rovna , a vytvořující funkce náhodné veličiny je rovna

neboť jde o Taylorovu řadu exponenciální funkce. Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodného součtu je pak dle (13) rovna

G_{S_{N}} (s) = G_{N} [G_{X} (s)] = \exp {- λ [1 - (1 - p) - p s]} = \exp [- λ p (1 - s)],

což je vytvořující funkce Poissonova rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou .

Uvažujeme tzv. binární dělení, proces větvení, kdy každý jedinec má buď právě dva potomky s pravděpodobností , anebo nemá žádné potomky s pravděpodobností . Spočítejte střední hodnotu a rozptyl velikosti populace v -té generaci, pravděpodobnost vyhynutí, , a pravděpodobnost, že ve druhé generaci budou 2 jedinci.

Řešení

Pravděpodobnosti počtu potomků jsou tedy , ostatní jsou nulové. Nejprve spočítáme střední hodnotu, , a rozptyl, , počtu potomků:

Dosadíme do (6) a spočítáme střední hodnotu velikosti populace, . Rozptyl obdržíme dosazením do (8),

;

Dle (17) je pravděpodobnost vyhynutí , pokud . Pro ji nalezneme jako kořen rovnice . Pravděpodobnostní vytvořující funkce počtu potomků je rovna . Kořen kvadratické rovnice , a tedy pravděpodobnost vyhynutí, je

Vytvořující funkce velikosti populace v nulté generaci je rovna , neboť _. Dvojím použitím (15) postupně odvodíme vytvořující funkci pro velikost populace v první generaci a následně ve druhé generaci,

hledaná pravděpodobnost je rovna koeficientu u , tj. .

Předpokládejme, že populace lidí je přibližně popsána procesem větvení. Jako jednotku velikosti populace uvažujme rodinu, přičemž pravděpodobnosti, že rodina nemá potomka, má jednoho potomka, resp. má dva potomky, jsou rovny , , resp. . Spočítejte pravděpodobnost vyhynutí populace. Dále uvažujte jednu zvolenou rodinu a sledujte její potomky a následovníky. Spočítejte střední hodnotu a rozptyl jejich počtu v následujících třech generacích a pravděpodobnost, že třetí generace následovníků této rodiny bude mít alespoň 5 zástupců.

Řešení

Spočítáme střední hodnotu, , a rozptyl, , počtu potomků:

Určíme pravděpodobnostní vytvořující funkci počtu potomků,

Protože , určíme pravděpodobnost vyhynutí dle (17) jako kořen rovnice . Obdržíme, je tedy 50% pravděpodobnost, že modelovaná populace někdy vyhyne. Střední hodnotu a rozptyl velikosti populace následovníků zvolené rodiny v prvních třech generacích spočítáme dosazením do (6) a (8),

E ⁢ ( X 1 ) = 1 , 2 ; E ⁢ ( X 2 ) = 1 , 44 ; E ⁢ ( X 3 ) = 1 , 728 ; Var ⁢ ( X 1 ) = 0 , 56 ; Var ⁢ ( X 2 ) = 1 , 478 ; Var ⁢ ( X 3 ) = 2 , 935

Vytvořující funkce velikosti populace v nulté generaci je rovna . Trojím použitím (15) postupně spočítáme vytvořující funkce , a velikosti populace následovníků rodiny až do třetí generace. Dostaneme

Hledanou pravděpodobnost získáme jako součet koeficientů polynomu u páté až osmé mocniny , .

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity