Statistické vlastnosti počtu událostí

Nyní se zaměříme na statistické vlastnosti veličiny , tedy počtu událostí v časovém intervalu délky . Zavedeme označení pro pravděpodobnostní funkci počtu zaznamenaných událostí, , do času a odvodíme rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny . Pomocí pravidla o úplné pravděpodobnosti, jehož suma zde má jen jeden nenulový člen, a dosazením můžeme psát 

Využili jsme přitom pravidlo (i) z definice Poissonova procesu. Limitním přechodem dostaneme diferenciální rovnici 

(1)

Přidáním počáteční podmínky , kterou stanovujeme, že na začátku pozorování nejsou zaznamenané žádné události, dostáváme jednoduchou diferenciální rovnici s počáteční podmínkou, jejímž řešením je pravděpodobnostní funkce 

(2)

Analogický postup aplikujeme na pro Pravděpodobnostní funkci rozepíšeme podle pravidla o úplné pravděpodobnosti, 

ze sumy osamostatníme poslední dva členy, 

a využijeme vlastnosti (i) , (ii), (iv) z definice Poissonova procesu, 

Rovnice vydělíme výrazem , převedeme na levou stranu a limitním přechodem dostaneme soustavu diferenciálních rovnic 

(3)

Detaily odvození a řešení toho, sice nekonečného, ale jednoduchého, systému ponecháváme na čtenáři jako cvičení (příp. odkazujeme na učební materiály dynamických spojitých modelů). Spolu s počátečními podmínkami pro a již nalezeným řešením lze pravděpodobnostní funkci procesu zapsat obecně takto: 

(4)

To je pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení s parametrem , porovnejte s (Zákon malých čísel 4). 

Z podmínky (c) vlastností Poissonova procesu je dále zřejmé, že počty událostí v nepřekrývajících se intervalech a musí být pro stochasticky nezávislé. Říkáme, že náhodný proces udávající počet událostí v intervalu má tedy v nepřekrývajících se časových intervalech nezávislé přírůstky a . 
 

Příklad (Teorie hromadné obsluhy)
Příchody zákazníků do bank, obchodů, resp. pacientů k ošetření do nemocnic mohou být často aproximovány Poissonovým procesem. Podobně se často používá k popisu okamžiků dopravních nehod či náhodných poruch strojů ve výrobním procesu. Poissonovo rozdělení je voleno jednak na základě statisticky významné shody s empirickými pozorováními, často je však také pro svoji jasnou charakterizaci a relativně jednoduchý matematický aparát, kterým je popsán. Často přitom není intenzita konstantní, ale je funkcí času, . Tento model probereme podrobněji v další části. Teorie hromadné obsluhy je část matematické statistiky, která zkoumá takové modely a jejich zobecnění na jiná rozdělení pravděpodobnosti či jiné pravděpodobnostní charakteristiky.