
Statistické vlastnosti počtu událostí
Nyní se zaměříme na statistické vlastnosti veličiny , tedy počtu událostí v časovém intervalu délky
. Zavedeme označení
pro pravděpodobnostní funkci počtu zaznamenaných událostí,
, do času
a odvodíme rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny
. Pomocí pravidla o úplné pravděpodobnosti, jehož suma zde má jen jeden nenulový člen, a dosazením můžeme psát
|
Využili jsme přitom pravidlo (i) z definice Poissonova procesu. Limitním přechodem dostaneme diferenciální rovnici
|
(1) |
Přidáním počáteční podmínky , kterou stanovujeme, že na začátku pozorování nejsou zaznamenané žádné události, dostáváme jednoduchou diferenciální rovnici s počáteční podmínkou, jejímž řešením je pravděpodobnostní funkce
|
(2) |
Analogický postup aplikujeme na pro
Pravděpodobnostní funkci rozepíšeme podle pravidla o úplné pravděpodobnosti,
|
ze sumy osamostatníme poslední dva členy,
|
|
a využijeme vlastnosti (i) , (ii), (iv) z definice Poissonova procesu,
|
|
Rovnice vydělíme výrazem , převedeme
na levou stranu a limitním přechodem dostaneme soustavu diferenciálních rovnic
|
(3) |
Detaily odvození a řešení toho, sice nekonečného, ale jednoduchého, systému ponecháváme na čtenáři jako cvičení (příp. odkazujeme na učební materiály dynamických spojitých modelů). Spolu s počátečními podmínkami pro
a již nalezeným řešením
lze pravděpodobnostní funkci procesu
zapsat obecně takto:
|
(4) |
To je pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení s parametrem , porovnejte s (Zákon malých čísel 4).
Z podmínky (c) vlastností Poissonova procesu je dále zřejmé, že počty událostí v nepřekrývajících se intervalech a
musí být pro
stochasticky nezávislé. Říkáme, že náhodný proces
udávající počet událostí v intervalu
má tedy v nepřekrývajících se časových intervalech nezávislé přírůstky
a
.
Příklad (Teorie hromadné obsluhy)
Příchody zákazníků do bank, obchodů, resp. pacientů k ošetření do nemocnic mohou být často aproximovány Poissonovým procesem. Podobně se často používá k popisu okamžiků dopravních nehod či náhodných poruch strojů ve výrobním procesu. Poissonovo rozdělení je voleno jednak na základě statisticky významné shody s empirickými pozorováními, často je však také pro svoji jasnou charakterizaci a relativně jednoduchý matematický aparát, kterým je popsán. Často přitom není intenzita konstantní, ale je funkcí času,
. Tento model probereme podrobněji v další části. Teorie hromadné obsluhy je část matematické statistiky, která zkoumá takové modely a jejich zobecnění na jiná rozdělení pravděpodobnosti či jiné pravděpodobnostní charakteristiky.