Funkce obnovy a asymptotické vlastnosti

Pro proces obnovy platí analogie zákona velkých čísel, konkrétně 

tzv. skoro jistě, tj. podíl počtu událostí a délky pozorovaného intervalu je pro velká s pravděpodobností jedna roven převrácené hodnotě střední doby mezi příchody událostí. Dále se definuje funkce obnovy (renewal function) jako střední hodnota procesu obnovy, 

(9)

Pro funkci obnovy platí tzv. základní věta obnovy, která říká, že podíl střední hodnoty počtu zaznamenaných událostí a doby pozorování konverguje k převrácené hodnotě střední doby mezi příchody událostí, 

Důkaz tohoto tvrzení pro technickou obtížnost vynecháme; je však založen na použití silného zákona velkých čísel a na ověření stejnoměrné integrovatelnosti procesu . Pro funkci obnovy dále platí tzv. rovnice obnovy: 

Při známé hustotě můžeme na tuto rovnici pohlížet jako na integrální rovnici pro neznámou funkci obnovy . Matematická odvození pro různé procesy obnovy a procesy z nich odvozené jsou často prováděna právě pomocí zkoumání řešení takových integrálních či diferenciálních rovnic pro funkci obnovy. Zvídavý čtenář nalezne odvození a výsledky především v mnoha textech autorů Fellera a Coxe.
Zajímavou vlastností procesů obnovy je tzv. inspection paradox. Předem pevně zvolíme nějaký okamžik a budeme zkoumat délku intervalu obnovy obsahující právě tento okamžik . Lze ukázat, že délka tohoto konkrétního intervalu obnovy je z pohledu pravděpodobnosti větší než délka kteréhokoliv intervalu obnovy. Zapsáno formálně např. pro délku prvního intervalu obnovy to znamená, že 

Matematická terminologie říká, že pro předem zvolené je tzv. stochasticky větší než .