Číselné charakteristiky
Protože podle (ii) jsou náhodné veličiny nsr, mají také stejné číselné charakteristiky. Označme střední počet potomků každého jedince (v libovolné generaci)
(3) |
a rozptyl počtu potomků
(4) |
Pro odvození střední hodnoty počtu jedinců v -ní generaci vyjdeme z (2), kde náhodný součet rozepíšeme podle vzorce pro úplnou pravděpodobnost,
Střední hodnota v uvedeném výrazu je přitom rovna , neboť jde vlastně o sumu středních hodnot počtu potomků jedinců. Dosazením a úpravou tak dostáváme rekurzivní vztah (pro )
(5) |
Z (i) a (1) přitom máme , explicitní tvar pro střední hodnotu velikosti populace je tedy rovný
(6) |
Nyní odvodíme rozptyl velikosti populace v -té generaci. Jak již bylo řečeno, náhodné veličiny jsou nsr a platí tedy
Tohoto vztahu a (6) využijeme při výpočtu podmíněného druhého momentu,
Využitím vzorce pro úplnou pravděpodobnost pak počítáme
Dosadíme z (6) a vyjádříme rozptyl velikosti populace,
čímž obdržíme rekurentní vztah
(7) |
Z podmínky (i) máme , jako cvičení pro čtenáře pak ponecháváme vyjádření explicitního vztahu pro rozptyl velikosti populace
(8) |
Grafy průběhů střední hodnoty (6) a rozptylu (8) v závislosti na generaci jsou pro různé hodnoty střední hodnoty počtu potomků, , vykresleny na (Obr.2.
Obr.2: Střední hodnota, , a rozptyl, , velikosti populace Galtonova-Watsonova procesu větvení v závislosti na generaci, . Hodnoty rozptylu (graf vpravo) jsou uvedeny na logaritmické škále. Parametry: (červeně, kolečka), (zeleně, čtverečky), (modře, trojúhelníky); .
Všimněme si asymptotického chování () střední hodnoty a rozptylu velikosti populace. Při obě charakteristiky konvergují k nule, při obě divergují. Zajímavý je případ , kdy je v populaci v průměru stále jen jeden jedinec, ale rozptyl velikosti populace roste nade všechny meze.