Poissonův proces v rovině

Místo okamžiků příchodů událostí v čase, , tzn. v jedné dimenzi, lze uvažovat i vícerozměrný Poissonův proces. V našem výkladu se zaměříme na dvourozměrný Poissonův proces, kde proměnné budou hrát roli souřadnic v rovině. Uvedenou metodologii lze však zobecnit i na více dimenzí. Bodový proces je homogenní Poissonův proces v rovině ; s intenzitou , pokud:

(i)	pro každou podmnožinu je počet bodů obsažených v množině náhodná veličina s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s parametrem ;
(ii)	pro každou posloupnost vzájemně disjunktních množin jsou náhodné veličiny stochasticky nezávislé.

Přitom symbolem zde značíme obsah (plochu) množiny .
Počet bodů procesu v obdélníku je náhodná veličina s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti s parametrem . Především pro jednotkový čtverec dostáváme Poissonovo rozdělení s parametrem , tzn. intenzita nyní hraje roli středního počtu bodů procesu v jednotkovém čtverci.

Zejména ekologové se často zajímají o prostorové rozmístění rostlin nebo zvířat. Obecně nastávají některé z těchto situací:

• organismy jsou na ploše rozmístěny náhodně;
• organismy jsou na ploše rozmístěny ve shlucích nebo preferují určité oblasti - to ukazuje na spolupráci mezi jedinci;
• organismy jsou rozmístěny téměř pravidelně, tak, že vzdálenosti mezi nimi jsou konstantní  - to naznačuje soupeření mezi jedinci.

Důvodem pro statistický výzkum rozmístění organismů je to, že pokud je rozmisťovací schéma známo, lze z analýzy malé oblasti statisticky odhadovat celkovou velikost populace (zvířat anebo např. stromů v lese).

Příklad (Poissonovský les)
Schéma rozmístění organismů, odpovídající Poissonovu procesu v rovině, je ekology nazýváno Poissonovským lesem. Nemusí přitom jít nutně jen o stromy, ale obecně o rozmístění organismů. Za předpokladu Poissonovského lesa lze odvodit hustotu pravděpodobnosti pro vzdálenost jedince od jeho nejbližšího souseda.

Zvolme libovolně ale pevně jedince, a uvažujme kolem něj kruh o poloměru . Takový kruh má obsah , a tedy dle podmínky (i) je počet jedinců uvnitř náhodná veličina s Poissonovým rozdělením pravděpodobnosti, viz (Zákon malých čísel 4), s parametrem , kde značí střední počet jedinců v kruhu o jednotkovém obsahu. Označme vzdálenost od zvoleného jedince k jeho nejbližšímu sousedovi v Poissonovském lese. Jev nastane, pokud se v kruhu kolem zvoleného jedince nenachází žádný další jedinec. Toho využijeme k výpočtu distribuční funkce s využitím (Zákon malých čísel 4).

(5)

Hustotu pravděpodobnosti vzdálenosti obdržíme derivací vzhledem k ,

(6)

Při ověřování platnosti hypotézy Poissonovského lesa používáme klasický test dobré shody (goodness-of-fit test). Provedeme měření vzdáleností k nejbližšímu sousedovi. Zvolíme reprezentativní oblast, která bude dostatečně vzdálená od hranice, a v ní pro každého jedince zjistíme vzdálenost k jemu nejbližšímu sousedovi. Takto získaný vzorek označíme , a spočítáme hodnotu statistiky testu dobré shody, kde očekávané četnosti spočítáme jako určité integrály z hustoty . Další možností je použití Kolmogorovova-Smirnovova testu, kdy se porovnává empirická distribuční funkce vzorku vzdáleností k nejbližšímu sousedovi s teoretickou distribuční funkcí . 

Intenzitu lze odhadnout metodou maximální věrohodnosti. Využijeme toho, že je náhodný výběr z rozdělení s hustotou pravděpodobnosti . Logaritmická věrohodnostní funkce je tedy rovna 

Hledáme maximum vzhledem k , dostáváme rovnici 

z níž odvodíme výraz pro maximálně věrohodný odhad intenzity 

(7)

Ověříme, že se skutečně jedná o maximum, . Lze dokázat, že výraz je nestranným odhadem převrácené hodnoty intenzity . Pro odhad samotný to však neplatí.
Pokud je znám obsah celé zkoumané oblasti , odhad celkového počtu jedinců v této oblasti je pak rovný hodnotě . Aby testování a odhad intenzity nebyly zkreslené, je nutno podoblast, na níž jsou měření prováděna, volit tak, aby byla dostatečně vzdálená od okrajů celé oblasti výskytu populace. Odvození rozdělení pravděpodobnosti vzdálenosti jsou totiž provedena za předpokladu nekonečného (tedy neohraničeného) Poissonovského lesa, který ale v praxi stěží nalezneme. 

Na závěr se ještě zmíníme o vícerozměrném Poissonově procesu. Analogicky pravidlům (i) a (ii) lze definovat -rozměrný Poissonův proces. V takovém případě chápeme jako míru množiny , např. jako -rozměrný objem množiny (ve třírozměrném prostoru jde o klasický objem). V praxi se lze kromě výše uvedeného dvourozměrného procesu v rovině setkat i s jeho třírozměrnou analogií v prostoru se souřadnicemi , ale také s třírozměrným, resp. čtyřrozměrným Poissonovým procesem v časoprostoru se souřadnicemi , resp. , kde jsou podmínky Poissonova procesu stanoveny jak pro prostorové souřadnice, tak pro časovou proměnnou .