Definice Poissonova procesu
Náhodným procesem, bez ohledu na formální matematickou definici, rozumíme soustavu náhodných veličin, indexovaných diskrétním nebo spojitým parametrem, který se často označuje jako čas. Poissonův proces je matematický popis (abstrakce) a udává počet událostí, které nastaly od počátku pozorování do daného časového okamžiku. Svůj název proces obdržel podle francouzského matematika a fyzika Siméona-Denise Poissona (1781-1840). Poissonův proces se ukázal být vhodným statistickým modelem mimo jiné pro radioaktivní rozpad částic, počet telefonních hovorů, či požadavky zobrazení dokumentu na webu.
Jedná se o náhodný proces se spojitým časem (na kladné poloose) a diskrétní množinou stavů (nezáporná celá čísla). Je speciální variantou procesu vzniku a zániku, konkrétně jde o lineární proces ryzího vzniku s konstantní intenzitou. V našem výkladu se budeme opírat především o zdroje [2, 4, 6]. Podrobnosti budou vysvětleny v dalších částech těchto studijních materiálů.
Poissonův proces je matematickým modelem zcela náhodné posloupnosti událostí (jevů). Definice a všechny podstatné vlastnosti Poissonova procesu jsou dobře známé, velmi detailně byly diskutovány např. již v práci Fellera v roce 1957.
Zde uvedeme přehled těchto výsledků. Uvažujme události (jevy) vyskytující se v čase, , uváděného například
v sekundách (s). Klasickým příkladem takových jevů jsou emise částic z radioaktivního zdroje. Nechť je konstanta, jejímž rozměrem je převrácená hodnota jednotky času (tedy např.
). Ta bude udávat střední počet výskytů sledovaných událostí za jednotkový časový interval a nazývá se míra výskytu událostí (rate of occurrence).
Poissonův proces patří do širší třídy takzvaných bodových (čítacích) procesů a označujeme jej symbolem , kde proměnná
; představuje čas. Tak tomu bude i v našem výkladu, pokud explicitně neuvedeme jinak. Pro každé pevné
je
náhodná veličina, udávající počet událostí, které nastaly až do času
včetně. Zaveďme ještě náhodnou veličinu
, udávající počet událostí v časovém intervalu
, kde
je délka sledovaného krátkého intervalu. Při tomto značení chápeme
a naopak máme
.
Poissonův proces s konstantní intenzitou
(tzv. homogenní Poissonův proces) je definován následující podmínkami:
| (i) | |
| (ii) | |
| (iii) | náhodná veličina |
Podmínky (i) a (ii) přitom implikují, že
| (iv) |
Připomeňme zde použité označení z matematické analýzy: značí takovou veličinu, která vzhledem k
konverguje k nule rychleji než samotné
. Přesněji,
představuje jakoukoliv funkci
, takovou, že limita podílu
. V rovnicích (i) , (ii), (iv) tak o-notace může znamenat tři různé funkce, ale se stejnými vlastnostmi. Relativní střední počet událostí vzhledem k délce nekonečně krátkého intervalu délky
je v Poissonově procesu roven
,
Později uvidíme, že toto platí i pro interval libovolné délky.
Poissonův proces má tyto důležité vlastnosti:
| (a) | Pravděpodobnosti (i) , (ii), (iv) nezávisí na |
| (b) | Pravděpodobnost, že dvě nebo více událostí nastane současně (tj. ve stejném čase) je zanedbatelná (konverguje k nule). |
| (c) | Šance příchodu události v intervalu |
Vlastnosti (a) a (c) jsou základní abstrakcí, která odlišuje matematický model od reality. Realizace náhodného procesu se nazývá trajektorie, jedná se tedy o nenáhodnou funkci času, . Jedna taková trajektorie Poissonova procesu je vykreslena na Obr.1.
.png) |
Obr.1: Jedna trajektorie Poissonova procesu s intenzitou . Události nastaly v okamžicích skoků v grafu.
Příklad (Zákaznické centrum)
Uvažujme zákaznické centrum s velkým počtem připojených telefonních linek. Sledovanými událostmi jsou příchozí hovory s požadavky na určitou službu. Pokud budeme uvažovat dostatečně krátký časový interval, např. 15-30 minut, podmínky Poissonova procesu budou téměř splněné. Je nutné zajistit, že aby každý volající zákazník byl bez čekání spojen s některým z operátorů. Zároveň téměř vylučujeme, aby tentýž zákazník volal opakovaně během tohoto krátkého času, či dokonce volal více operátorům zákaznického centra současně.
Pokud by počet připojených linek byl nízký, vlastnost (c) by nebyla splněna. Avšak, při našem předpokladu velkého počtu připojených telefonních linek a při předpokladu, že jednotliví volající se chovají nezávisle na sobě, je pravděpodobnost spojení v okamžiku téměř neovlivněna vývojem telefonních spojení do času
.
Vlastnost (a) nebude splněna v dlouhém časovém období (např. celý den), když intenzita hovorů do zákaznického centra bude kolísat během dne. Vhodným modelem takového chování je Poissonův proces s intenzitou spojitě se měnící v čase. Tento tzv. nehomogenní Poissonův proces bude probrán v některé z dalších částí učebního textu.
Velmi podobnou a aktuální aplikací Poissonova procesu je také sledování okamžiků požadavků na zobrazení určité webové stránky. Webový server musí být v takovém případě dimenzován na dostatečně vysokou zátěž požadavků přicházejících
z připojené počítačové sítě.
Příklad (Radioaktivní zdroj)
Předpokládejme, že sledovaným jevem je emise z radioaktivního zdroje. Poissonův proces je dobrou matematickou reprezentací výskytu emisí po dobu, za níž radioaktivita zdroje zůstane téměř nezměněna (konstantní).
Události zaznamenané měřicím přístrojem - Geigerovým-Müllerovým čítačem - však ve skutečnosti netvoří Poissonův proces. To je způsobeno tzv. latencí čítače: po každé (zaznamenané) emisi následuje jistá krátká doba, během níž čítač nedokáže zaznamenat příchod další události. Podmínka (c) tedy určitě nebude splněna pro posloupnost jevů zaznamenaných takovým čítačem. Problémy spojené s latencí nejen měřicích přístrojů, ale i procesů v živých organizmech a korekcí záznamů jsou studovány dodnes.
Příklad (Mutace)
Změny v genetickém materiálu (mutace) buněk mohou být spontánní, anebo vyvolané nějakým externím podnětem.
Spontánní mutace mohou být také popsány Poissonovým procesem. Pokud k mutacím dochází v reprodukčních buňkách, přebírají tyto vlastnosti také potomci. Charakteristik Poissonova procesu tak lze využít např. ke hrubému odhadu počtu zmutovaných jedinců v určité populaci.
