Úlohy k procvičení

1. Uvažujte nehomogenní Poissonův proces s intenzitou
   Spočítejte pravděpodobnost, že mezi časy 1,25 a 3,00 nastanou alespoň 2 události.

Řešení

• Pravděpodobnost vyjádříme pomocí opačného jevu a poté využijeme (1):

  Střední počet událostí v intervalu je totiž dle (3) rovný
   

2. Uvažujte nehomogenní Poissonův proces s intenzitou Spočítejte pravděpodobnost, že 6. událost nastane později než včase 5, podmíněnou tím, že 5. událost nastala
   v čase 2.

Řešení

• Uvedenému podmíněnému jevu odpovídá situace, kdy za dobu od 2 do 5 nepřijde žádná událost. Střední počet událostí v intervalu je dle (3) rovný

   

  Během sledovaného intervalu tedy očekáváme výskyt 10 událostí, požadovaná pravděpodobnost nenastání žádné události by proto měla být velmi malá. To ověříme výpočtem podle (1) a obdržíme
   

   

3. Uvažujte homogenní Poissonův proces s intenzitou v 3dimenzionálním prostoru. Dokažte, že vzdálenost od počátku k nejbližšímu bodu tohoto procesu má pro hustotu a distribuční funkci . Podle zadání příkladu Pp. 3 poté spočítejte pravděpodobnost, že vzdálenost od jedné bakterie k nejbližší jiné bakterii v nádrži je větší než 10 cm.

Řešení

• Při důkazu se postupuje zcela analogicky odvození pro vzdálenost v Poissonovském lese, jen místo kruhu uvažujeme kouli o poloměru , tzn. o objemu .
  Z řešení příkladu Pp. 3 víme, že v 1 l vody je průměrně bakterií, tzn. že střední počet bakterií v 1 cm vody je bakterií, což odpovídá intenzitě pro Poissonův proces v prostoru, . Dále s pomocí distribuční funkce spočítáme požadovanou pravděpodobnost,