Úlohy k procvičení

1. Určete střední hodnotu a přibližný 95% interval spolehlivosti pro hodnotu jednoduché náhodné procházky s po 10,000 krocích.

Řešení

• Dosazením do (2) spočítáme a pomocí (5) určíme přibližný interval spolehlivosti .

   

2. Pro jednoduchou náhodnou procházku (s obecným ) určete pravděpodobnost, že trajektorie po 4 krocích dospěje do hodnoty 2. Nalezněte všechny takové trajektorie a vysvětlete souvislost jejich průběhu se spočítanou pravděpodobností.

Řešení

• Dosazením , do (8) nalezneme . Odpovídající trajektorie jsou čtyři: . Všechny vznikly složením trojího posunu +1 a jednoho posunu -1, což odpovídá mocninám a v pravděpodobnosti, počet trajektorií je dán kombinačním číslem .

3. Určete nejmenší počáteční kapitál hráče v jednoduché hře s pohlcujícími stavy a tak, aby pravděpodobnost jeho zruinování byla menší nebo rovna 0,5. Výpočet proveďte pro 0,4; 0,5; 0,6 a pro 10 a 20. Výsledky porovnejte.

Řešení

• K výpočtům použijeme (18), kam dosadíme za a , a úpravami nalezneme nejmenší celočíselné , pro nějž je . Výsledky jsou v tabulce:

  Pro je nejmenší kapitál . Pro nejmenší kapitál při změně zůstává přibližně na hodnotě , resp. .

   

4. (Podle [4]) Hráči A a B hrají tenisový zápas, aktuální stav je "shoda", tzn. pro získání hry je potřeba získat dva body v řadě za sebou. Popište vývoj tenisového zápasu za stavu "shoda" pomocí náhodné procházky s pohlcujícími stavy na množině , reprezentující aktuální stav hry. Spočítejte pravděpodobnost výhry hráče A a střední dobu do získaní hry některým z hráčů. Předpokládejte přitom, že hráč A získává bod s pravděpodobností , číselně uvažujte a .

Řešení

• Stavy po řade označují stavy zápasu "bod pro hráče B", "výhoda pro hráče B", "shoda", "výhoda pro hráče A", "bod pro hráče A". Náhodná procházka začíná ve stavu , stavy (výhra hráče B) a (výhra hráče A) jsou pohlcující. V zavedeném označení tedy máme , .
  Hráč A vyhraje bod, když náhodná procházka dosáhne stavu _. Pravděpodobnost výhry hráče A je tedy podle (19). Číselně obdržíme pro , resp. pro .
  Při stejně silných hráčích tedy hráč A získá bod s pravděpodobností 0,5, pokud však vyhrává jednotlivá podání s 2krát větší pravděpodobností proti soupeři, za stavu uv{shoda} získá bod ze hry s pravděpodobností dokonce 0,8.
  Pro výpočet střední doby do konce hry použijeme (26) a číselně obdržíme pro , resp. pro . Nejdelší střední počet podání do dokončení hry je rovný 4, a to při vyrovnaných silách soupeřů. V případě nerovných soupeřů střední doba do konce hry klesá.