Velikost populace a pravděpodobnost vyhynutí

V této části podáme návod na výpočet rozdělení pravděpodobnosti velikosti populace v -té generaci a spočítáme pravděpodobnost vyhynutí populace. K odvození budeme potřebovat aparát pravděpodobnostních vytvořujících funkcí diskrétních náhodných veličin. Uvedeme přitom jen definici a důležité vlastnosti.

Pravděpodobnostní vytvořující funkce

Pravděpodobnostní vytvořující funkce (probability generating function, pgf) náhodné veličiny nabývající nezáporných celých čísel je mocninná řada definovaná jako 

(9)

kde je pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny . Pravděpodobnostní vytvořující funkce se často užívá pro svůj stručnější popis rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny a pro jednoduchý tvar rozdělení pravděpodobnosti součtu nezávislých náhodných veličin. Mezi a je vzájemně jednoznačný vztah, rozdílná rozdělení pravděpodobnosti mají rozdílné vytvořující funkce, a naopak. Ze znalosti vytvořující funkce náhodné veličiny lze spočítat odpovídající pravděpodobnostní funkci 

(10)

kde značí -tou derivaci podle v bodě . V případě, že je dána přímo ve tvaru polynomu, odpovídá koeficient u -té mocniny přímo pravděpodobnosti .

Uvažujme dvě nezávislé náhodné veličiny nabývající nezáporných celých čísel, s vytvořující funkcí a s vytvořující funkcí . Potom pravděpodobnostní vytvořující funkce součtu je součinem obou vytvořujících funkcí,

(11)

Podobný výsledek lze dokázat pro náhodný výběr, tedy pro vektor nsr náhodných veličin. Předpokládejme, že je náhodný výběr z rozdělení pravděpodobnosti s vytvořující funkcí . Potom pravděpodobnostní vytvořující funkce součtu je rovna -té mocnině funkce , 

(12)

Vytvořující funkce umožňuje i práci s náhodným součtem náhodných veličin. Nechť je náhodný výběr z rozdělení pravděpodobnosti s vytvořující funkcí . Dále mějme náhodnou veličinu nabývající nezáporných celých čísel, s vytvořující funkcí , a nezávislou na veličinách . Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodného součtu je rovna složení vytvořujících funkcí , 

(13)

Rozdělení pravděpodobnosti velikosti populace

Uvedené vlastnosti vytvořujících funkcí nyní použijeme k odvození rozdělení pravděpodobnosti velikosti Galtonova-Watsonova procesu. Označme pravděpodobnostní vytvořující funkci počtu potomků každého jedince v libovolné generaci ,

a pravděpodobnostní vytvořující funkci velikosti populace, , v -té generaci

Podle podmínky (i) je v nulté generaci populace jen jeden jedinec, který má přímých potomků. Jedince v -ní generaci proto rozdělme do kohort podle toho, kdo z potomků jedince z nulté generace je jejich předkem. Označme počty jedinců v těchto kohortách , . Matematicky pak jednoznačnost rozdělení populace do kohort vyjádříme vztahem

(14)

V každé kohortě je na počátku (v globální 1. generaci) právě jeden jedinec (potomek jedince z nulté generace) a populace v jednotlivých kohortách jsou nsr náhodné veličiny. Evoluce v každé kohortě je tedy popsána Galtonovýmdiscretionary-Watsonovým proces se stejnými parametry jako v globálním procesu, jen číslování generací je o jedničku menší, ()-ní globální generaci odpovídá -tá generace v kohortách.

Podle výše zavedeného značení má vytvořující funkci , každé z má vytvořující funkci a má vytvořující funkci . Vidíme, že jsme v (14) vyjádřili jako náhodný součet. Použijeme (13) a dostáváme rekurentní vztah vytvořující funkce velikostí populace,

(15)

vytvořující funkce velikosti populace nulté generace je rovna

(16)

protože dle (i) je . Při praktickém výpočtu nejprve určíme vytvořující funkci počtu potomků a podle (15) postupně dopočítáváme vytvořující funkce velikostí populace jednotlivých generacích a odpovídající pravděpodobnostní funkce podle (10).

Pravděpodobnosti vyhynutí
Pokud , populace vymře v první generaci. Pokud , populace nevymře nikdy. V ostatních případech populace vymře nejpozději v -té generaci, pokud . Lze ukázat, že pravděpodobnost, že populace někdy vymře, lze spočítat pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce počtu potomků,

(17)

kde je kořen rovnice v intervalu . Zvídavý čtenář nalezne důkaz této velmi zajímavé vlastnosti v knize [2], kde je převzat z Fellerových prací.