Úlohy k procvičení

1. (Podle [4]) Na velkém ostrově bylo vypuštěno stádo kopytníků. Pravděpodobnosti narození potomka, resp. úmrtí, jsou rovny /rok, resp. /rok, pro každého jedince. Lovec chce na ostrov přijet na lov, když stádo kopytníků dosáhne alespoň dvojnásobného počtu jedinců s pravděpodobností 95 %. Jak dlouho bude muset lovec čekat? Vývoj populace kopytníků modelujte procesem vzniku a zániku a velikost populace aproximujte normálním rozdělením pravděpodobnosti.

Řešení

• Hledáme takový čas , aby platilo . Podle zadání má střední hodnota (22) velikosti populace tvar a rozptyl (24) je rovný . Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny při pevném považujeme za normální s parametry a . Hledáme takový čas , aby dvojnásobná velikost populace byla dolním 95% odhadem pozorování náhodné veličiny . Z vlastností odhadů v normálním rozdělení víme, že pro dolní odhad realizace , tzn. , platí , kde je 95% kvantil standardizovaného normálního rozdělení pravděpodobnosti. Numericky nalezneme takový čas , pro nějž je , tedy . Závislost na čase, , je vykreslena modrou křivkou na Obr.3. Zjistíme, že , lovec tedy bude muset čekat skoro 10 let. 

   

2. Ověřte, že druhý obecný moment velikosti populace v procesu vzniku a zániku splňuje (23). 

   Můžete přitom využít identit 

    

   Diferenciální rovnici potom vyřešte a odvoďte (24).