Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datMaticové populační modely Prolog Vektory, matice a operace s nimi

Logo Matematická biologie

Vektory, matice a operace s nimi

Vektory budeme chápat jako sloupcové. Budeme je označovat tučnými malými písmeny, jejich složky budeme převážně značit stejným písmenem jako je označen vektor, doplněným dolním indexem, nebo znakem vektoru v kulaté závorce s dolním indexem. Tedy

Symbolem označíme vektor, jehož všechny složky jsou rovny jedné, symbolem vektor, jehož všechny složky jsou rovny 0,

Matice budeme převážně označovat velkými bezpatkovými písmeny, jejich složky stejným písmenem malým s dvojicí indexů, případně znakem matice v kulatých závorkách s dvojicí indexů; první index je řádkový, druhý sloupcový. Matice typu je

Vektor s složkami  (-rozměrný vektor) je tedy matice typu Symboly a označíme nulovou a jednotkovou matici,

 

přitom je Kroneckerův symbol. Bude-li potřebné zdůraznit, že nulová nebo jednotková matice je současně čtvercovou maticí dimense budeme psát nebo

Součet matic stejného typu je definován po složkách, tj.

Násobek matice skalárem je matice stejného typu,

Pro lineární kombinaci matic stejného typu platí Také platí

Násobení matic: Násobením matice typu maticí typu (zprava) dostaneme matici typu pro jejíž složky platí

Pro násobení matice typu vektorem o složkách platí

Transpozice matice: Matice transponovaná k matici typu je matice typu pro niž platí

Pro násobení matic platí

Skalární součin vektorů o složkách je definován jako maticový součin

Hadamardův součin matic stejného typu je „součin po složkách“, tj.

Čtvercovou diagonální matici, která má v diagonále složky vektoru značíme Je tedy

Pro vektory stejné dimenze platí

Kroneckerův součin matic: Nechť matice je typu a matice je typu Jejich Kroneckerův součin je matice typu kterou lze blokově zapsat ve tvaru

Například tedy

Operace „poskládá sloupce matice nad sebe“, přesněji: z matice typu vytvoří -rozměrný vektor

kde přitom označuje celou část z reálného čísla

S využitím operací a můžeme přepsat součin matice typu a -rozměrného vektoru:

 

Symbolem   označíme matici, jejíž složky jsou absolutními hodnotami složek matice Podobně označuje vektor se složkami

Euklidovská norma -rozměrného vektoru je definována vztahem

součtová (taxíkařská) norma -rozměrného vektoru je definována vztahem

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict