Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datMaticové populační modely Identifikace parametrů modelu Inversní metody časových řad Metoda maximální věrohodnosti

Logo Matematická biologie

Metoda maximální věrohodnosti

Stejně jako u regresních metod budeme předpokládat, že pozorované složení populace v čase je projekcí jejího složení v čase a náhodné odchylky. Nyní však budeme předpokládat, že náhodná odchylka je multiplikativní,

(3)

O chybách budeme předpokládat, že v jednom každém časovém okamžiku jsou realizací náhodného vektoru z -rozměrného normálního rozdělení se střední hodnotou a varianční maticí

(4)

a že jsou v jednotlivých časových okamžicích nezávislé, tj. a jsou nezávislé náhodné vektory pro Poznamenejme, že varianční matice nemusí být diagonální; např. podmínky, které jsou dobré pro mladé jedince, mohou být dobré i pro staré nebo naopak.

Dále budeme předpokládat, že všechny pozorované hodnoty jsou kladné. Můžeme je tedy zlogaritmovat, tj. položit

neboli

Poněvadž podle Identifikace parametrů modelu (3) platí

je při daných hodnotách vektor realizací náhodného vektoru z -rozměrného normálního rozdělení se střední hodnotou

(5)

a varianční maticí Z předpokládané nezávislosti chyb v různých časových okamžicích nyní plyne, že věrohodnostní funkce je tvaru

Odtud dostaneme

Poněvadž první člen, tj. výraz nezávisí na matici ani na matici , můžeme maximálně věrohodný odhad parametrů, tj. složek matic a vypočítat jako

kde složky vektorů jsou dány rovnostmi Identifikace parametrů modelu (5) (a závisí tedy na matici ). Minimum hledáme
nějakou iterační metodou, jako výchozí aproximaci můžeme použít odhad Identifikace parametrů modelu (2).

Pokud jsou pozorované hodnoty získány opakovaným měřením, můžeme spočítat jejich výběrový rozptyl, varianční matici nahradit výběrovou kovarianční maticí a odhadovat pouze složky matice

Ještě poznamenejme, že předpoklad o nezávislosti náhodných odchylek od deterministického modelu v jednotlivých časových okamžicích je dost silný, ve skutečné populaci nemusí být splněn; např. pokud byla populace v jednom časovém okamžiku díky příznivým podmínkám v dobrém fyziologickém stavu, může být její růst do dalšího okamžiku větší než obvykle, i když podmínky se nezávisle změní na nějaké méně příznivé.

 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Masarykovy univerzity | | zpětné odkazy | validní XHTML 1.0 Strict