Matice A ireducibilní a imprimitivní

Podle Perronovy-Frobeniovy věty je v tomto případě a existuje přirozené číslo takové, že pro a pokud Přitom pro Řešení Modely s konstantní projekční maticí (22) rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) přepíšeme na tvar

při zápisu používáme konvenci Platí tedy

(23)

Vidíme, že řešení projekční rovnice Modely s konstantní projekční maticí (17) s ireducibilní a imprimitivní maticí je tedy pro libovolnou počáteční hodnotu asymptoticky ekvivalentní s funkcí kde

je -periodická funkce.

Nechť je index takový, že Pak a pro vlastní hodnotu platí

tj. vlastní hodnoty a jsou komplexně sdružené. Matice je reálná a proto pro vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě platí

Vektor je tedy vlastním vektorem matice příslušným k vlastní hodnotě Poněvadž existuje konstanta taková, že Podobně lze ukázat, že existuje konstanta taková, že pro levé vlastní vektory a platí Dále platí

Poněvadž počáteční struktura populace je reálný vektor, platí

a dále

symbol označuje reálnou část komplexního čísla (vektoru).

Je-li číslo sudé, pak pro platí

Položme nyní

Poznamenejme, že řeálné vlastní hodnotě matice odpovídá reálný levý i pravý vlastní vektor. Proto je funkce reálná. Dále platí

Vektorovou funkci

nyní přepíšeme na tvar

symbol označuje celou část z reálného čísla Z tohoto vyjádření vidíme, že funkce je reálná.

Pro průměr hodnot -periodické funkce na intervalu délky periody platí

To vzhledem k Modely s konstantní projekční maticí (23) znamená, že pro dostatečně velký čas nezávisle na počáteční struktuře populace (pokud je ovšem alespoň jedna z jejích složek nenulová) roste populace tak, že její velikost kolísá kolem exponenciální funkce a dlouhodobý průměr zastoupení jednotlivých složek je úměrný složkám vlastního vektoru příslušného k dominantní vlastní hodnotě

Populace je opět ergodická a dominantní vlastní hodnotu matice lze opět interpretovat jako Malthusovský koeficient růstu.